結果 (確率論)

結果に関する概念

確率論では、試行の結果を「結果」と呼び、これが反映する状態や状況を定義します。この結果は「標本点」とも表現され、試行から生じる唯一の状態を示します。異なる結果が同時に発生することはなく、これは排反であると言えます。試行から得られる全ての結果を集合として捉えたものが「標本空間」と称されます。

事象と結果の関係

結果の中から特定の条件を満たす集合を「事象」と呼びます。公理的集合論の視点から、結果と根元事象は異なる概念であり、特に結果は事象の要素として機能します。たとえば、コインを2回投げる場合、出る可能性のある結果は4通り：

• - 表、表（(H, H)）
• - 表、裏（(H, T)）
• - 裏、表（(T, H)）
• - 裏、裏（(T, T)）

ここで、「少なくとも1回表が出る」という事象は、(T, T)を除く全ての結果からなる集合であることがわかります。

結果の分類

結果は様々な条件に基づいて分類できます。特に複数の結果が存在する場合、それらの集合を「事象」として捉えます。ホップの拡張定理においては、事象空間が完全加法族であると仮定します。1つの結果だけを含む場合は「根元事象」となり、標本空間は試行の結果全体を表します。標本空間が可算集合の場合、その部分集合は事象として認識されます。一方で、非可算な場合は、確率が定義不可能な非可測集合は事象として考慮しません。

確率の理解

標本空間が可算数であれば、結果それぞれに0から1の範囲で確率を設定できますが、非可算集合の場合、一つの結果の確率は通常0です。そこで、結果の集合である事象の確率が重視されます。混合分布の一部では、いくつかの離散的な結果が連続した結果の分布に含まれ、この離散的な結果は「アトム」と呼ばれます。アトムは非零の確率を持つことが可能です。

結果の確からしさ

確率空間では、全ての結果が等しい確率を持つ「等確率空間」とそうでない「非等確率空間」が存在します。コイントスのように、公平なコインを使用すれば、出る結果は同じ確率で生じるため、これを「同様に確からしい」と言います。ゲームやランダム化ツールでは、この等確率性が暗黙の前提となりますが、形状の歪みや意図的な仕掛けによってこの均一性が損なわれることがあります。

実際には、連続型確率変数の例に見られるように、多くの状況で結果が等しくなることは稀です。例に挙げれば、画鋲を投げる際の上向きか下向きの状態は、その形状が対称でないため、同様に確からしくありません。

まとめ

確率論における結果は、さまざまな試行によって生じる状態を規定し、これに関連する概念である事象や標本空間についての理解を深めることでより正確な解析が可能になります。

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