絡み数

絡み数について

絡み数（からみすう）とは、数学の分野の一つである結び目理論における重要な概念です。これは、3次元空間内に存在する二つの有向閉曲線がどのように絡み合っているかを整数値として表現するものです。具体的には、一方の曲線がもう一方の周りをどちらの向きに何回回っているかを示します。この数値は、その絡み合いの具合を定量化する役割を果たします。

定義

二つの有向結び目 J と K からなる絡み目を考えます。この場合の絡み数 Lk(J, K) は次のように定義されます。まず、絡み目の射影図に描かれる交点を観察します。J の成分と K の成分からなる交点に注目し、それぞれの交点がどちらの向きに位置しているかを見ます。左側にある交点には +1 の符号、右側にある交点には -1 の符号を与えます。そして、全体の符号の合計を二で割った値が、絡み数 Lk(J, K) となります。

この定義は、K の成分が手前にある交点のみに焦点を当てても成り立ちます。このことから、Lk(J, K) = Lk(K, J) という対称性も確認できます。

性質

定義により得られる絡み数は、どの結び目の射影図を使用しても一定であり、これは有向絡み目としての不変量です。有向結び目の一方の成分の向きを反転させると、絡み数の符号が反転します。しかし、絶対値を取ると、向きを考慮しない絡み目の不変量となります。例えば、ホップ絡み目は絡み数の絶対値が1であるのに対し、ホワイトヘッド絡み目は絶対値が0です。この結果、両者は同値でないことが分かります。

また、二成分の絡み目が分離可能であれば、絡み数は0になりますが、その逆は成立しません。ホワイトヘッド絡み目がこの点での反例として知られています。

その他の定義

絡み数には、他にもいくつかの定義が存在します。特に、積分を用いた定義では、二つの有向閉曲線 K と J に対して、次式が成り立ちます。

$$Lk(J, K) = \frac{1}{4\pi} \int_{J} \int_{K} \frac{y - x}{|y - x|^3} \cdot (dx \times dy).$$

また、ザイフェルト曲面を利用した定義では、片方の成分 J を境界とする向き付け可能な曲面 S を設定し、K と S の交点に基づいて絡み数を計算します。こうしたアプローチによっても、絡み数は特定の定義に依存しない不変量となります。

絡み目の全絡み数

複数の成分を持つ絡み目に対しても絡み数の概念を拡張することができます。成分数 m の絡み目 LA と成分数 n の絡み目 LB について、次のように絡み数を定義します。

$$Lk(L_A, L_B) = \sum_{1 \leq i \leq m \atop 1 \leq j \leq n} Lk(K_{A_i}, K_{B_j}).$$

さらに、成分数 n の有向絡み目 L の全絡み数は、以下のように定義されます。

$$Lk(L) = \sum_{1 \leq i < j \leq n} Lk(K_i, K_j).$$

完全に分離可能な絡み目の総絡み数は0となることが知られています。

まとめ

絡み数の概念は、結び目理論において非常に重要であり、絡み目の特性を数学的に解析する手段を提供します。これにより、絡み目の性質を抽象的に理解するための強力な道具となります。

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