向き
数学における実ベクトル空間の向き（あるいは向き付け）とは、その基底に対して「正」または「負」の向きを定める取り決めのことを指します。これは、基底を構成するベクトルの順序付けられた組に対して定義されます。身近な例としては、3次元ユークリッド空間における右手系と左手系の区別がこれにあたります。しばしば右手系が正の向きとして扱われますが、規約によっては左手系を正とすることも可能です。
この向きの概念は、実ベクトル空間に留まらず、実多様体のようなより一般的な幾何学的対象に拡張され、その性質を特徴づける上で重要な役割を果たします。
ゼロでない実ベクトル空間Vを考えます。Vにおける二つの順序付き基底 b₁ = (b₁(1), ..., b₁(n)) と b₂ = (b₂(1), ..., b₂(n)) が与えられたとします。線形代数の基本的な定理により、b₁をb₂に変換するような正則な線形変換 A が一意に存在します。この変換Aの行列式（det(A)）が正であるとき、基底 b₁ と b₂ は「同じ向きを持つ」と定義されます。逆に、行列式が負であれば、これらの基底は「逆の向きを持つ」といいます。
「同じ向きを持つ」という関係は、Vのすべての順序付き基底の集合上で同値関係を形成します。Vが0次元でない限り、この同値関係によって基底の集合は正確に二つの互いに素な集合、すなわち二つの同値類に分割されます。Vの「向き付け」とは、これら二つの同値類のうち一方を「正の向き」、もう一方を「負の向き」と定める割り当てのことです。
Vの向き付けは、具体的にVの任意の順序付き基底を一つ選び、それを「正の向きを持つ基底」と定めることによって与えられます。このとき、選ばれた基底と同じ同値類に属するすべての基底が正の向きを持つことになります。例えば、Rnにおける標準基底はRnの標準的な向きを定めます。また、VとRnの間の線形同型写像を利用することで、Rnの標準的な向きに対応するVの向きを定めることも可能です。
向きを考える上で、基底を構成するベクトルの並べる順番は非常に重要です。基底ベクトルの順序を入れ替えたときに得られる新しい基底が、元の基底と同じ向きを持つか逆の向きを持つかは、その入れ替え（置換）が偶置換であるか奇置換であるかによって決まります。
ベクトル空間の向き付けには、多重線形代数を用いた異なる定式化も存在します。
n次元ベクトル空間Vに対し、そのn次外積空間 ΛⁿV を考えると、これは1次元の実ベクトル空間となります。この1次元ベクトル空間の向きを定めることが、Vの向きを定めることと同等であると見なせます。
ΛⁿV 上にはあらかじめ向きが決まっているわけではないため、その向きの選択は任意です。具体的には、ΛⁿVの中からゼロでないベクトル ω̂ を一つ選び出すことによって向きを指定できます。このような ω̂ は体積要素とも呼ばれます。
この ω̂ に対応する線形写像 ω （体積形式とも呼ばれる交代n形式）は、順序付けられたn個のベクトルに対して実数値を返します。ω が正の値を与えるような順序付き基底を、正の向きを持つ基底と考えることができます。例えば、(e₁, ..., e_n) が正の向きを持つ基底であれば、対応する体積要素は e₁ ∧ e₂ ∧ ... ∧ e_n となります。
この定式化と基底変換行列の行列式との関連は、線形変換が行列式というスカラー倍として最高次外積空間に作用することによって理解されます。
ベクトル空間における向きの概念は、多様体へと自然に拡張されます。
可微分多様体Mの各点pにおいては、そこでの接空間TpMが実ベクトル空間となります。多様体の向き付けとは、これらの接空間それぞれに向き付けが与えられており、それが多様体上の点pについて「連続的に」変化する状態を指します。
すべての多様体に向き付けができるわけではありません。例えば、n次元球面Sⁿのような向き付け可能な多様体もあれば、偶数次元の実射影空間RP²ⁿのように向き付けが不可能な多様体も存在します。
多様体の向き付け可能性は、接束（または枠束）の構造を用いて表現することも可能です。一般にGLn(R)である構造群を、行列式が正である可逆行列からなる部分群GLn⁺(R)に縮小できるとき、その多様体は向き付け可能であると言われます。これは、ユークリッド空間の開集合を向きを保つような座標変換で貼り合わせて多様体を構成できることとほぼ同義です。
また、ホモロジー論を用いた定義もあります。多様体Mの各点pについて、点p周りの局所的な向きをホモロジー群 Hn(M, M \ {p}; Z) の生成元に対応させることができます。これらの局所的な向きがM上で矛盾なく「連続的」に繋がり、向きの層と呼ばれる層が自明になるとき、Mは向き付け可能であると言われます。
コンパクト多様体に関しては、より大域的な定義が可能です。境界を持つn次元多様体Mは、その最高次相対ホモロジー群 Hn(M, ∂M; Z) が非自明であるときに限り、向き付け可能となります。これは、多様体の三角形分割を考えた際に、最高次の単体たちに貼り合わせ条件を満たすような整合性のある向きを一様に定めることができるかどうかに対応しています。
多様体Mが向き付け可能でないとは、Mの中でn次元の球体を移動させて元の位置に戻したときに、その球体の向きが初期状態から反転してしまうような経路が存在することを意味します。
したがって、Mが向き付け不可能なことと、(n-1)次元の球体Dⁿ⁻¹と単位区間[0, 1]の直積 Dⁿ⁻¹ × [0, 1] の両端、すなわちDⁿ⁻¹ × {0} と Dⁿ⁻¹ × {1} を、向きを逆にして貼り合わせた構造がMのどこかに含まれていることが同値になります。
この状況をよく示す典型的な例が、メビウスの帯です。メビウスの帯の上で矢印を移動させると、一周して戻ってきたときに矢印の向きが反転していることが確認できます。
この向きの概念は、実ベクトル空間に留まらず、実多様体のようなより一般的な幾何学的対象に拡張され、その性質を特徴づける上で重要な役割を果たします。
定義
ゼロでない実ベクトル空間Vを考えます。Vにおける二つの順序付き基底 b₁ = (b₁(1), ..., b₁(n)) と b₂ = (b₂(1), ..., b₂(n)) が与えられたとします。線形代数の基本的な定理により、b₁をb₂に変換するような正則な線形変換 A が一意に存在します。この変換Aの行列式（det(A)）が正であるとき、基底 b₁ と b₂ は「同じ向きを持つ」と定義されます。逆に、行列式が負であれば、これらの基底は「逆の向きを持つ」といいます。
「同じ向きを持つ」という関係は、Vのすべての順序付き基底の集合上で同値関係を形成します。Vが0次元でない限り、この同値関係によって基底の集合は正確に二つの互いに素な集合、すなわち二つの同値類に分割されます。Vの「向き付け」とは、これら二つの同値類のうち一方を「正の向き」、もう一方を「負の向き」と定める割り当てのことです。
Vの向き付けは、具体的にVの任意の順序付き基底を一つ選び、それを「正の向きを持つ基底」と定めることによって与えられます。このとき、選ばれた基底と同じ同値類に属するすべての基底が正の向きを持つことになります。例えば、Rnにおける標準基底はRnの標準的な向きを定めます。また、VとRnの間の線形同型写像を利用することで、Rnの標準的な向きに対応するVの向きを定めることも可能です。
向きを考える上で、基底を構成するベクトルの並べる順番は非常に重要です。基底ベクトルの順序を入れ替えたときに得られる新しい基底が、元の基底と同じ向きを持つか逆の向きを持つかは、その入れ替え（置換）が偶置換であるか奇置換であるかによって決まります。
異なった定式化
ベクトル空間の向き付けには、多重線形代数を用いた異なる定式化も存在します。
n次元ベクトル空間Vに対し、そのn次外積空間 ΛⁿV を考えると、これは1次元の実ベクトル空間となります。この1次元ベクトル空間の向きを定めることが、Vの向きを定めることと同等であると見なせます。
ΛⁿV 上にはあらかじめ向きが決まっているわけではないため、その向きの選択は任意です。具体的には、ΛⁿVの中からゼロでないベクトル ω̂ を一つ選び出すことによって向きを指定できます。このような ω̂ は体積要素とも呼ばれます。
この ω̂ に対応する線形写像 ω （体積形式とも呼ばれる交代n形式）は、順序付けられたn個のベクトルに対して実数値を返します。ω が正の値を与えるような順序付き基底を、正の向きを持つ基底と考えることができます。例えば、(e₁, ..., e_n) が正の向きを持つ基底であれば、対応する体積要素は e₁ ∧ e₂ ∧ ... ∧ e_n となります。
この定式化と基底変換行列の行列式との関連は、線形変換が行列式というスカラー倍として最高次外積空間に作用することによって理解されます。
多様体の向き
ベクトル空間における向きの概念は、多様体へと自然に拡張されます。
可微分多様体Mの各点pにおいては、そこでの接空間TpMが実ベクトル空間となります。多様体の向き付けとは、これらの接空間それぞれに向き付けが与えられており、それが多様体上の点pについて「連続的に」変化する状態を指します。
すべての多様体に向き付けができるわけではありません。例えば、n次元球面Sⁿのような向き付け可能な多様体もあれば、偶数次元の実射影空間RP²ⁿのように向き付けが不可能な多様体も存在します。
向き付け可能
多様体の向き付け可能性は、接束（または枠束）の構造を用いて表現することも可能です。一般にGLn(R)である構造群を、行列式が正である可逆行列からなる部分群GLn⁺(R)に縮小できるとき、その多様体は向き付け可能であると言われます。これは、ユークリッド空間の開集合を向きを保つような座標変換で貼り合わせて多様体を構成できることとほぼ同義です。
また、ホモロジー論を用いた定義もあります。多様体Mの各点pについて、点p周りの局所的な向きをホモロジー群 Hn(M, M \ {p}; Z) の生成元に対応させることができます。これらの局所的な向きがM上で矛盾なく「連続的」に繋がり、向きの層と呼ばれる層が自明になるとき、Mは向き付け可能であると言われます。
コンパクト多様体に関しては、より大域的な定義が可能です。境界を持つn次元多様体Mは、その最高次相対ホモロジー群 Hn(M, ∂M; Z) が非自明であるときに限り、向き付け可能となります。これは、多様体の三角形分割を考えた際に、最高次の単体たちに貼り合わせ条件を満たすような整合性のある向きを一様に定めることができるかどうかに対応しています。
向き付け不能
多様体Mが向き付け可能でないとは、Mの中でn次元の球体を移動させて元の位置に戻したときに、その球体の向きが初期状態から反転してしまうような経路が存在することを意味します。
したがって、Mが向き付け不可能なことと、(n-1)次元の球体Dⁿ⁻¹と単位区間[0, 1]の直積 Dⁿ⁻¹ × [0, 1] の両端、すなわちDⁿ⁻¹ × {0} と Dⁿ⁻¹ × {1} を、向きを逆にして貼り合わせた構造がMのどこかに含まれていることが同値になります。
この状況をよく示す典型的な例が、メビウスの帯です。メビウスの帯の上で矢印を移動させると、一周して戻ってきたときに矢印の向きが反転していることが確認できます。
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