群同型

群同型の概念

群同型（あざぶんどうかい、group isomorphism）は抽象代数学における基本的な概念であり、二つの群の元の間の一対一の対応を確立する写像です。この写像は、与えられた群演算と整合性を保つ必要があります。群同型が存在する場合、これらの群は同型（isomorphic）と呼ばれ、数学的にはその性質上、全く同じものと見なされます。

定義と記法

2つの群 (G, ∗) と (H, ⊙) があるとき、群同型写像とは、(G, ∗) から (H, ⊙) への全単射である群準同型のことを指します。すなわち、群同型写像は次の条件を満たす写像 f: G → H である必要があります:

$$
f(u * v) = f(u) ext{ } ext{⊙} ext{ } f(v)
$$

これは全ての元 u, v ∈ G に対して成り立ちます。

このようにして、2つの群が同型であるためには、一方の群からもう一方への写像が存在することが条件です。これを数学的な記法で表すと、

$$
(G, ∗) ext{ } ≅ ext{ } (H, ⊙)
$$

と表されます。さらに場合によっては、群演算が明確であれば、その記号を省略して単に G ≅ H と表記できることもあります。

実例と性質

群同型の理解を深めるために、具体的な例を考えてみましょう。すべての実数が加法に関する群 (R, +) は、すべての正の実数が乘法に関する群 (R^+, ×) に群同型となることが知られています。この写像は指数関数によって与えられ、次のように述べられます:

$$
(R, +) ext{ } ≅ ext{ } (R^{+}, ×)
$$

整数の群 Zは、実数の部分群であるとともに、商群 R/Z は絶対値が1の複素数の乗法群 S1 に同型です。このように、群同型によりさまざまな群の構造を比較し、性質を引き出すことが可能です。

群の同型性に関する性質も非常に興味深いです。例えば、群 (G, ∗) と (H, ⊙) が同型である時、同型写像の核は必ず G の単位元 {eG} になります。さらに、可換群であればその同型先も可換であるという性質もあります。加えて、群の元の位数も同型写像を通じて保たれるため、群同型はその構造を解明する重要な手法となっています。

同型写像のより深い理解

同型写像はまた、自己同型写像と呼ばれる群の自己写像と結びついています。自己同型写像は、元の群 (G, ∗) から自身への群同型であり、元の構造を持ちながら別の表現をすることができます。例えば、群の元を逆元に置き換える自己同型が存在する場合、これは群の元の性質をさらに深く探る手法になります。

さらに、自己同型群を形成する全ての同型写像を集めると、その集合は再び群となります。これにより、自己同型の性質や特徴を研究することができ、応用範囲が広がります。

まとめ

群同型の概念は、群が持つ様々な性質を比較し、解析するための基本的な道具です。能動的に群の相互関係を探求することで、数学のさまざまな領域において有用な知識を得ることができます。群同型を通じた研究は、抽象代数学の他の多くの側面にも影響を与え、それにより深化した理解を促すものです。

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