自発的対称性の破れ

自発的対称性の破れとは

自発的対称性の破れとは、ある対称性を持った系が、エネルギー的に最も安定な状態（真空）へ落ち着く際に、元の対称性よりも低い対称性を持つ状態へと移行する現象、またはその過程を指します。これは、系を記述する方程式自体は特定の対称性を持っているにもかかわらず、系の基底状態（最もエネルギーの低い状態）がその対称性を持たない場合に起こります。

物理学における意義

この概念は、主に物性物理学や素粒子物理学といった分野で重要な役割を果たしています。

物性物理学: 超伝導現象を記述するBCS理論において、クーパー対が形成される条件を説明する際に用いられます。
素粒子物理学: 標準模型において、ゲージ対称性を破り、ウィークボソンに質量を与えるヒッグス機構を理解する上で不可欠です。
* 磁気学: 強磁性体の磁化現象においても、自発的対称性の破れが重要な役割を果たしていると考えられています。

メカニズム

メキシカンハット型ポテンシャル

自発的対称性の破れを理解するための簡単なモデルとして、「メキシカンハット（ワインボトル）型ポテンシャル」がよく用いられます。これは、複素スカラー場 \(\phi\) のポテンシャル \(V(\phi)\) が、以下のような形をとる場合を考えます。

\[V(\phi) = \mu |\phi|^2 + \lambda |\phi|^4 \quad (\mu < 0, \lambda > 0)\]

このとき、\(\mu\) と \(\lambda\) は定数です。\(\mu\) が負の値を持つことが重要で、これによりポテンシャルは原点（\(\phi = 0\)）で極大値を持ち、原点から離れたところに極小値を持つようになります。

対称性の破れ

このポテンシャルを持つ系では、\(\phi = 0\) の状態は不安定であり、系はよりエネルギーの低い極小値の状態へと移行します。このとき、\(\phi\) はある特定の位相 \(\theta\) を持つ値をとり、元のラグランジアンが持っていた対称性（\(\theta\) の任意の変化に対する不変性）が破れることになります。

量子論的な考察

有限自由度の量子系では、ハミルトニアンが対称性を持っていても、真空状態も同じ対称性を持つため、自発的対称性の破れは起こりません。これは、量子論的なトンネル効果により、複数のエネルギー極小状態間の遷移が可能になるためです。しかし、無限自由度系ではトンネル効果が無視できるため、対称性が自発的に破れた系では、複数の真空状態が縮退して存在します。このことは、南部・ゴールドストーン粒子の存在や、ヒッグス機構によるゲージ場の質量獲得と深く関係しています。

具体例

ワインバーグ＝サラム理論

素粒子物理学のワインバーグ＝サラム理論では、同様のポテンシャルを用いて、ゲージ対称性 \(SU(2)_L \times U(1)_Y\) を \(U(1)_{em}\) に破り、ウィークボソンに質量を与えています。

強磁性体

強磁性体では、外部磁場がない状態でも、物質内部の磁気モーメントが自発的に揃い、磁化が発生します。この現象は、原子間のスピンの向きに関する相互作用によって起こります。この相互作用は、O(3)変換に対して不変なハミルトニアンで記述されますが、自発磁化が発生した後は、特定の方向が系の基底状態となり、対称性が破れます。

まとめ

自発的対称性の破れは、物理学の様々な分野で重要な役割を果たす概念です。系の対称性と基底状態の対称性が異なる場合に起こり、超伝導、素粒子の質量獲得、磁性などの現象を理解する上で不可欠な考え方となっています。

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