行列の乗法

行列の乗法：様々な種類と性質

数学における行列の乗法は、単一の演算ではなく、複数の異なる演算を包括する概念です。実数や複素数の乗法のように、一意的に定義されるものではありません。そのため、行列の乗法の種類と、それぞれの演算が持つ特徴を理解することが重要です。

1. スカラー倍

最も基本的な行列の乗法は、スカラー倍です。これは、行列の全ての成分に同じスカラー値を乗じる操作です。左スカラー倍と右スカラー倍がありますが、基礎となる環が可換環（例えば、実数体や複素数体）の場合は、両者は同一になります。非可換環（例えば、四元数体）の場合は、左と右で異なる結果となります。

数式で表すと、行列 A とスカラー λ について、左スカラー倍は λA = (λaᵢⱼ) となり、右スカラー倍は Aλ = (aᵢⱼλ) となります。ここで、aᵢⱼ は行列 A の (i, j) 成分です。

2. 通常の行列の積

最も重要な行列の乗法は、連立一次方程式やベクトルの一次変換に用いられる通常の行列の積です。n × m 行列 A と m × p 行列 B の積 AB は、n × p 行列となり、その (i, j) 成分 cᵢⱼ は以下の式で定義されます。


cᵢⱼ = Σₖ₌₁ᵐ aᵢₖbₖⱼ


これは、A の第 i 行の成分と B の第 j 列の成分の対応する要素同士を掛け合わせて、その和を求めることを意味します。この積は、一般的には可換ではありませんが、結合的であり、行列の加法に対して分配的です。単位元は単位行列であり、正方行列は逆行列を持つ場合があります。また、行列式の乗法性も重要な性質です。

3. 多数の行列の積

複数の行列の積も、各行列のサイズが互換性を持つ限り定義できます。n 個の行列 A₁, A₂, ..., Aₙ がそれぞれ s₀ × s₁, s₁ × s₂, ..., sₙ₋₁ × sₙ のサイズを持つ場合、それらの積は s₀ × sₙ 行列となり、その成分は、対応する成分の積の総和として計算されます。

4. 行列の冪

正方行列 A については、自分自身を繰り返し掛けることで、行列の冪 Aᵏ を定義できます。これは、A を k 回掛け合わせた行列です。行列の冪根、行列の指数関数、行列の対数関数なども、この概念に基づいて定義されます。

5. その他の乗法

通常の行列の積以外にも、いくつかの行列の乗法が定義されています。

アダマール積 (Hadamard product): 同じサイズの行列 A と B のアダマール積 A ○ B は、対応する成分同士の積からなる同じサイズの行列です。(A ○ B)ᵢⱼ = aᵢⱼbᵢⱼ
フロベニウス内積 (Frobenius inner product): 行列 A と B のフロベニウス内積 A : B は、対応する成分同士の積の総和です。A : B = Σᵢⱼ aᵢⱼbᵢⱼ。これは、行列をベクトルと見なした内積と解釈できます。
* クロネッカー積 (Kronecker product): m × n 行列 A と p × q 行列 B のクロネッカー積 A ⊗ B は、mp × nq 行列となり、A の各成分を B で置き換えたブロック行列として定義されます。

これらの乗法は、通常の行列の積とは異なる性質を持ち、それぞれの用途に合わせて使い分けられます。行列の乗法は、線形代数における重要な演算であり、様々な応用分野で利用されています。特に、大規模な行列の積の計算効率化は、計算機科学において重要な研究課題となっています。

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