複素測度

複素測度について

複素測度とは、測度論の分野において、複素数値を含む測度の概念を拡張したものです。具体的には、集合の大きさ（たとえば、長さ、面積、体積）が複素数である場合でも、その測度を許容することを意味します。

定義

d可測空間 (X, Σ) 上の複素測度 μ は、Σ の上に定義された複素数値関数として表現されます。このとき、複素測度は σ-加法的な性質を持つ必要があります。すなわち、Σ に含まれる任意の素集合の列
(A_n) に対して、次の関係が成り立ちます。

$$
egin{aligned}
ext{μ}igg(igcup_{n=1}^{ ext{∞}} A_nigg) &= ext{∑}_{n=1}^{ ext{∞}} ext{μ}(A_n)
ext{（すべての集合が合併されるとき、}
ext{その測度は、各々の測度の和として表される））}
igg)
ext{ただし、右辺の和は絶対収束または発散のいずれかになる。}
igg)
ext{ }
igg)
ext{ }
ext{ }
ext{ }
igg)

複素測度に基づく積分

複素数値の可測関数に関する積分は、実数値の非負測度に関連するルベーグ積分を活用して定義されます。この場合、単関数を用いて可測関数を近似する手法が、複素測度の積分の定義に寄与しています。

また、もう一つの定義方法として、非負測度に基づく実数値関数の積分の概念を用いることがあげられます。この場合、複素測度 μ の実部 μ_1 と虚部 μ_2 は、それぞれ有限の符号付き測度として扱われます。ハーン＝ジョルダン分解により、次のように分割することができます。

$$
egin{aligned}
μ_1 &= μ_1^+ - μ_1^- \\
μ_2 &= μ_2^+ - μ_2^- \
ext{（各部は非負測度として存在します。）}
igg)
ext{ }
igg)
ext{ }
igg)

この方法により、次の形での積分が定義されます。これは不定形 ∞ - ∞ にならない範囲で実施されます。

$$
∫_X f dμ = igg( ∫_X f dμ_1^+ - ∫_X f dμ_1^- igg) + i igg( ∫_X f dμ_2^+ - ∫_X f dμ_2^- igg)

複素測度の変分と極分解

複素測度 μ の変分または絶対値 |μ| は、次のように定義されます。ここで、上限は一致するような素集合の列 に対して取られます。

$$

は非負の有限測度でありトポロジーを持ちますが、複素数の極形式に倣い、複素測度にも極分解が存在します。実数値可測関数 θ が次の式を満たすことが要求されます。

$$
dμ = e^{iθ} d |μ|

この関係は、任意の絶対可積分な可測関数 f に対して成立します。

複素測度の空間

二つの複素測度の和や、複素数との積により得られる測度もまた複素測度です。これらの性質により、可測空間 (X, Σ) 上のすべての複素測度からなる集合は、ベクトル空間を形成します。このベクトル空間は、全変動 ||μ|| によってノルムを持つため、バナッハ空間になります。

関連項目

• - リースの表現定理
• - 符号付測度
• - ベクトル測度

参考文献

• - MathWorldにおける複素測度の解説

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