資産価格付けの基本定理

資産価格付けの基本定理

資産価格付けの基本定理は、金融経済学や数理ファイナンスの分野において重要な役割を果たしています。この定理は、リスク中立確率の存在と一意性についての必要十分条件を示しています。この理論は、1970年代から1980年代にかけて、マイケル・ハリソン、デイヴィッド・クレプス、スタンリー・プリスカなどの研究者によって提唱されました。

基本な概念

資産価格付けの基本定理は、主に二つの基本定理に分かれます。

第1基本定理

第1基本定理では、金融市場における裁定取引が存在しないための必要十分条件として、少なくとも一つ以上のリスク中立確率が存在することを示しています。裁定取引とは、リスクなしで利益を得ることができる取引のことを指します。この定理により、裁定取引が存在しない場合、リスク中立確率を用いた価格付けが可能であることが明確になります。

第2基本定理

第2基本定理は、金融市場が完備であるための必要十分条件として、リスク中立確率が一意であることを示しています。完備な市場とは、全てのリスク因子が適切にヘッジできる市場のことを意味します。市場の完備性が保証されれば、リスク中立価格付けによって価格が一意に決まることが分かります。

リスク中立確率の概念

リスク中立確率とは、すべての金融資産の価格がマルチンゲール（期待値が現在の価格に等しい確率過程）になるように設計された仮想の確率です。基本定理は、リスク中立確率と無裁定価格理論、および市場の完備性という経済学的な概念を結びつけることにより、資産価格理論の基盤を形成します。

第1基本定理の証明の概要

第1基本定理を証明する際は、背理法を用います。まず、裁定取引の存在があれば、それがリスク中立確率の存在に矛盾することを示します。そのために、リスク中立確率が存在しない場合に裁定取引が可能であることを示すことになります。この過程で、リスク中立測度が現実の確率測度と同値であるため、裁定取引が必ず存在しないことが証明されます。

第2基本定理の証明の概要

第2基本定理では市場の完備性とリスク中立確率の一意性が同値であることを示します。市場が完備であるとは、任意の条件付き請求権に対して複製ポートフォリオを生成できることを意味します。両者の関係を理解することは、金融資産の評価やリスク管理において非常に重要です。

結論

資産価格付けの基本定理は、金融市場における裁定取引の非存在とリスク中立確率の存在及び一意性を結びつけており、金融工学や資産価格理論において欠かせない理論です。この理論により、多くの金融モデルが構築され、リスク管理が行われています。

もう一度検索