超ケーラー多様体とは？意味をやさしく解説

超ケーラー多様体とは

超ケーラー多様体（hyperkähler manifold）は、微分幾何学において重要な役割を果たすリーマン多様体の特別なクラスであり、次元が4kの形を持つものを指します。その特徴は、群Sp(k)を包含する完全群を持つことです。Sp(k)は、k次元の四元数エルミート空間に関連する群で、特にこの多様体はケーラー多様体の特別な形態とみなされます。超ケーラー多様体は全てリッチ平坦であり、これはまた、カラビ・ヤウ多様体であることとも関連しています。

この概念は、1978年にエウジェニオ・カラビによって初めて定義されました。

四元数構造

超ケーラー多様体Mは、計量がケーラーであるため、2次元の球面のような複素構造を持っており、特には概四元数多様体とされます。ここでは、3つの異なる複素構造I, J, Kが存在し、それぞれ四元数の関係式

$$ I^2 = J^2 = K^2 = IJK = -1 $$

を満たします。実数a, b, cが

$$ a^2 + b^2 + c^2 = 1 $$

であるなら、任意の線型結合

$$ aI + bJ + cK $$

もM上での複素構造となります。特に、接空間TxMは各点xで四元数ベクトル空間となり、Sp(k)はこれに対して線形に作用します。このため、多様体のホロノミー群は常にSp(k)に含まれます。逆に、リーマン多様体Mのホロノミー群がSp(k)に含まれている場合、それに応じて複素構造Ix, Jx, Kxを選び、TxMを四元数ベクトル空間内に配置することが可能です。これにより、M上に四元数多様体構造が確立されます。

ホロノミックなシンプレクティック構造

超ケーラー多様体$(M,I,J,K)$を複素多様体$(M,I)$として考えた場合、これは正則なシンプレクティック多様体とみなすことができます。特に、コンパクトな多様体の場合、このことがヤウのカラビ予想の証明においても示されています。コンパクトでケーラーなシンプレクティック多様体が与えられると、常に整合性を持つ超ケーラー計量が存在します。これらの計量は、与えられたケーラークラスに対して一意的です。

また、ボゴモロフ分解定理によれば、コンパクトな正則シンプレクティック多様体のホロノミー群はちょうどSp(k)であることが証明されており、Mが単連結であることも重要です。このため、任意の正則シンプレクティック形式が互いにスカラー倍となる条件も満たされます。

超ケーラー多様体の例

特に、任意のコンパクトな4次元超ケーラー多様体は、K3曲面またはコンパクトトーラスT^4に同等です。何故なら、すべての4次元のカラビ・ヤウ多様体は超ケーラー多様体に該当するからです。また、4次元コンパクト超ケーラー多様体の点のヒルベルトスキームもまた超ケーラー多様体であり、K3曲面上の点のヒルベルトスキームや一般化クンマー多様体がこれに当たります。

さらに、四元数Hを用い、GをSp(1)の有限部分群とすると、H/Gへの漸近的非コンパクトで完備な4次元超ケーラー多様体は、漸近的局所ユークリッド空間(ALF空間)またはALE空間として知られています。これらの空間は、物理学における重力インスタントンの研究にも利用されています。

まとめ

超ケーラー多様体は、数学と物理学の多くの領域で深い関係を持ち、研究の対象となっています。多くの超ケーラー多様体の例は、自己双対ヤン・ミルズ方程式などの解から導き出され、具体的な構造を持つものも数多く存在します。また、中島箙多様体のように、表現論においても重要な役割を果たす事例が見られます。

外部リンク

- Maciej Dunajski & Lionel J. Mason (2000), "Hyper Kahler Hierarchies and their Twistor Theory"

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