超越次数

概要

超越次数（ちょうえつじすう、英: transcendence degree）は、抽象代数学において、ある体の拡大 L/K が基礎体 K 上でどの程度「超越的」であるか、すなわち代数的でない要素を含んでいるかを示す概念です。これは、体の拡大の「大きさ」や「複雑さ」を測る指標の一つとして用いられます。

より厳密には、超越次数は、体の拡大 L/K において、基礎体 K 上代数的に独立な L の部分集合の中で、その要素の数が最も多いもの（すなわち、最大の濃度を持つ集合）の濃度として定義されます。

超越基底

体の拡大 L/K において、L の部分集合 S が「超越基底（transcendence basis）」であるとは、以下の二つの条件を満たす場合を指します。

1. S が基礎体 K 上で代数的に独立である。
2. L が、K に S のすべての元を添加して得られる体 K(S) の代数拡大である。

超越基底はベクトル空間における基底に対応する概念であり、重要な性質を持っています。全ての体の拡大には必ず超越基底が存在し、さらに、どのような超越基底を選んでもその濃度は常に同じであることが証明されています。この、全ての超越基底に共通する濃度こそが、体の拡大 L/K の超越次数に他なりません。

超越次数は通常、trdegK L や trans. degK L, trdeg(L /K) といった記号で表されます。

基礎体が指定されない場合

体の拡大 L/K における基礎体 K が文脈から明らかな場合は、省略して単に L の超越次数と言うこともあります。しかし、体 L 単独で超越次数が語られる場合は、その基礎体として L と同じ標数を持つ素体（標数が 0 の場合は有理数体 Q、標数が素数 p の場合は有限体 Fp）を基礎体とした場合の超越次数を指すのが一般的です。

純超越拡大

体の拡大 L/K が「純超越的（purely transcendental）」であるとは、基礎体 K 上代数的に独立な L の部分集合 S が存在し、かつ L が K に S の元を全て添加して得られる体 K(S) と一致する場合を言います。これは、拡大 L/K が超越的な部分のみで構成されており、その超越基底でL全体を生成できる（正確には、基底で生成された体の代数拡大ではない）状態を指します。

例

体の拡大 L/K が代数拡大であることと、その超越次数が 0 であることは同値です。この場合、空集合が超越基底となります。
n個の変数 x1, ..., xn を持つ有理関数体 K(x1, ..., xn) は、基礎体 K 上、超越次数 n の純超越拡大です。例えば、{x1, ..., xn} はその超越基底の一つです。
より一般的な例として、基礎体 K 上の n次元代数多様体の関数体の超越次数は n となります。
有理数体 Q 上の体 Q(√2, π) の超越次数は 1 です。これは、√2 は Q 上代数的である一方、π は Q 上超越的であるためです。超越基底としては {π} が取れます。
有理数体 Q 上の複素数体 C あるいは実数体 R の超越次数は連続の濃度です。これは Q が可算集合であることから従います。
有理数体 Q 上の体 Q(π, e) の超越次数は、π と e が Q 上代数的に独立であるかどうかが不明なため、1 または 2 となります。これは未解決問題です。

ベクトル空間の次元との類推

超越次数の概念は、ベクトル空間の次元の理論と多くの点で類似性が見られます。代数的に独立な集合は線型独立な集合に、L が K(S) 上代数的であるという性質はspanning set（生成系）を持つことに、超越基底は基底に、そして超越次数は次元に対応します。超越基底が常に存在するという事実は、ベクトル空間に基底が常に存在することと同様に、選択公理を必要とします。また、任意の二つの超越基底が同じ濃度を持つことの証明は、ベクトル空間の基底の場合と同様に交換補題（exchange lemma）に基づいています。

この類似性は、代数的独立性と線型独立性が共にマトロイドの例（それぞれ代数的マトロイド、線型マトロイドと呼ばれる）であるという観点からも形式的に捉えることができます。

超越次数の加法性

体の拡大の列 M/L および L/K が与えられたとき、拡大 M/K の超越次数は、拡大 M/L の超越次数と拡大 L/K の超越次数の和に等しくなります。すなわち、

`trdegK M = trdegL M + trdegK L`

この性質は、M/K の超越基底が、M/L の超越基底と L/K の超越基底の合併として構成できることを示すことで証明されます。

応用

超越基底や超越次数の概念は、体の準同型に関する様々な存在定理を証明するための重要な道具として利用されます。例えば、代数的に閉じた体 L とその部分体 K、および K の体自己同型 f が与えられたとき、f を L の体自己同型に拡張できることの証明に用いられます。まず L/K の超越基底を取り、K(S) 上の自己同型を構成し、それを代数的閉包である L に拡張する、という手順を踏みます。

また、複素数体 C の真部分体でありながら、体として C と同型であるようなものが多数存在することを示す際にも超越基底が利用されます。C/Q の超越基底が非可算無限集合であることを利用し、基底上で単射だが全射でない写像を作ることで、CからC自身への全射でない体準同型（すなわちCと同型な真部分体への同型写像）を構成します。

さらに、超越次数は関数体の構造を捉えるためにも使われます。例えば、ジーゲルの定理によれば、コンパクト連結なn次元複素多様体 X の上の有理型関数の体 K(X) の複素数体 C 上の超越次数は n 以下となります (trdegC K(X) ≤ n)。

これらの例は、超越次数が体の構造や写像の性質を理解し、関連する定理を証明する上で不可欠な概念であることを示しています。

参考文献

（元の情報に参考文献の記述はありません）

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