単連結空間

単連結空間とは

位相幾何学において、単連結空間とは、その空間内の任意のループ（閉じた曲線）が、連続的な変形によって一点に縮めることができるような、特別な弧状連結空間のことです。この概念は、空間の「穴」や「つながり方」といった性質を捉える上で非常に重要となります。

定義

厳密には、ある弧状連結空間の基本群が、単位元のみを要素として持つ自明な群であるとき、その空間は単連結であると定義されます。基本群とは、空間内のループの変形可能性を捉えるための代数的な道具です。単連結空間では、すべてのループが、基点に留まり続ける定値道（動かないループ）に変形できる、つまりホモトピー同値であることが保証されます。

弧状連結であるという前提があるため、空間内のどの点を基点に選んでも、ループが一点に収縮できるか否かの判断は変わりません。つまり、単連結性は基点の選び方に依存しない、空間そのものが持つ性質と言えます。

具体例

身近な例として、線分、円板、球体、そしてn次元ユークリッド空間や2次元以上の球面などは単連結空間です。これらの空間では、どのようにループを描いても、それを連続的に縮めて一点にすることが可能です。

一方で、トーラス（浮き輪の表面）、アニュラス（ドーナツ状の領域）、メビウスの帯、円周、そして結び目の補空間などは、単連結ではありません。例えば、トーラス上では、一点に縮められるループも存在しますが、トーラスの穴を一周するようなループは、連続的に縮めて一点にすることはできません。これは、トーラスの基本群が自明な群ではないことからもわかります。

具体的には、トーラスの基本群は以下のようになります。

π₁(T) = ⟨a, b | aba⁻¹b⁻¹ = 1⟩ ≅ π₁(S¹) × π₁(S¹)

ここで、aとbはトーラスの穴をそれぞれ一周するループを表し、この群は自明な群ではありません。

性質

単連結空間には、いくつかの興味深い性質があります。

単連結な開集合AとBが、空間全体Xを覆い、共通部分A∩Bが空でなく、かつ弧状連結であるとき、Xも単連結になります。
単連結空間の直積もまた単連結空間です。
可縮な空間は必ず単連結です。

関連概念

単連結空間に関連する概念として、以下のようなものがあります。

n連結: 単連結空間を一般化した概念で、高次のホモトピー群が自明である空間を指します。
半局所単連結: 局所的に単連結な性質を持つ空間を指します。
ケルビン・ストークスの定理: ベクトル解析における重要な定理で、単連結な領域で成立します。

まとめ

単連結空間は、位相幾何学における基本的な概念であり、空間の連結性や穴の有無を調べる上で重要な役割を果たします。この概念を理解することで、より深く空間の構造を理解することができるでしょう。

参考文献

瀬山士郎 『トポロジー―ループと折れ線の幾何学』 朝倉書店、1989年、91-94頁。ISBN 978-4254114652。
小林一章 『曲面と結び目のトポロジー―基本群とホモロジー群』 朝倉書店、1992年、22-23頁。ISBN 978-4254114713。
* クゼ・コスニオフスキ著、加藤十吉訳編 『トポロジー入門』 東京大学出版会、1983年、140-142頁。

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