遠アーベル幾何学

遠アーベル幾何学

遠アーベル幾何学は、代数多様体 $V$ 上の代数的基本群 $G$ を用いて、$V$ や関連する幾何学的対象を記述する数学の理論です。また、$V$ から他の幾何学的対象 $W$ への写像を決定することを目的とします。ここで「遠アーベル」とは、$G$ がアーベル群からかけ離れている状況を指します。

歴史

数体とその絶対ガロア群に関する初期の研究は、アレクサンドル・グロタンディークによる数体の双曲線に関する予想に先立ち、ユルゲン・ノイキルヒ、ギュンデュズ・イケダ、岩澤健吉、内田興二らによって行われました（ノイキルヒ・内田の定理）。

「遠アーベル」という言葉は、グロタンディークが1980年代に著書『Esquisse d'un Programme』で導入しました。彼の研究は長らく未出版でしたが、その理論や予想は多くの数学者の注目を集め、研究が進められています。21世紀に入り、この理論が有効になり始めると期待されています。

近年、望月新一は「単(mono-)遠アーベル幾何学」を導入し発展させました。これは、数体上の特定の双曲曲線について、その代数的基本群から曲線を復元するものです。望月の「絶対遠アーベル幾何学」は、単遠アーベル幾何学の主要な成果の一つです。

遠アーベル幾何学の特徴

遠アーベル幾何学は、類体論の一般化の一つと見なすことができます。高次アーベル類体論やラングランズ・プログラムとは異なり、遠アーベル幾何学は非常に非線形な理論です。

グロタンディークの予想

「遠アーベル的問題」は、次のように定式化されます。

多様体が射影的かつアフィン的な場合を考えます。有限生成体 $K$ 上で定義された滑らかで既約な双曲線 $C$ (種数 $g$ の射影代数曲線内の $n$ 個の点の補空間)を考えます。このとき、$2 - 2g - n < 0$ が成立するとします。

グロタンディークは、$C$ の代数的基本群 $G$ (射有限群)が $C$ 自身を決定すると予想しました。つまり、$G$ の同型類が $C$ の同型類を決定すると予想しました。

望月新一は、$g = 0$ (射影直線) かつ $n = 4$ の場合にこの予想を証明しました。このとき、$C$ の同型類は $K$ 内の削除された4点の交叉比によって決定されます。

また、$K$ が局所体の場合の結果も存在します。

参考文献

ノイキルヒ・内田の定理
類体論
宇宙際タイヒミュラー理論
束関手
ベールイの定理
P進タイヒミュラー理論
フロベニオイド
ラングランズ対応

外部リンク

* Heidelberg Lectures on Fundamental Groups, section 5

もう一度検索