閉性

閉性の概念

数学では、特定の集合とその元に対する演算の関係が「閉じている」といいます。ここでの「閉じている」とは、ある演算を行った結果が元々の集合に戻ることを意味します。この性質は「閉性」または「包性」と呼ばれ、さまざまな演算において考えることができます。

閉性の定義

与えられた集合がある演算に対して閉じている場合、その演算を集合内の任意の元に施したとき、その結果は必ず元の集合の元であることが必要です。たとえば、整数全体の集合に演算の一つである加法を適用すると、どのような整数同士を足しても、その結果は依然として整数です。このため、整数全体は加法に関して閉じているといえます。

また、複数の演算が存在する場合にも、その集合がそれら全ての演算に対して閉じていることが重要です。これは、個々の演算それぞれにおいて閉性が成り立つことが必要です。

例と反例

例：

• - 整数、実数、複素数の集合

これらの集合は、反数を求める演算（例えば、f(x) = -x）に対して閉じています。

反例：

• - 自然数の集合

自然数の中で0を含む集合は、加法に関して閉じていますが、減法に対しては閉じていません。具体的には、2 - 3の結果である-1は自然数ではないためです。

• - 整数の集合

整数全体の集合は、乗法に関しては閉じていますが、除法に対しては閉じていません。たとえば、3 / 2の結果は整数でないため、この演算に関して閉じているとは言えません。

閉包の概念

ある集合に対してその演算が閉じていない場合、通常、その集合を拡大することで演算が閉じるようにすることが可能です。特に、与えられた性質Pと二項関係Rがあった場合、性質Pを満たす最小の関係をRのP-閉包と呼びます。この考え方は、数学的構造を構築する際に役立ちます。

要約

閉性は数学の基本的な概念であり、特定の演算が集合に対しどのように機能するかを考える上で重要です。これを理解することで、しっかりとした数学の基礎を築くことができます。演算の閉性を確かめることは、より抽象的な数学の道に踏み出す第一歩でもあるのです。

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