陰函数定理

陰函数定理

多変数微分積分学において、陰函数定理（いんかんすうていり、英: implicit function theorem）は、変数間の解析的な関係式を関数のグラフとして捉え直すことを可能にする重要な定理です。

一般に、$f(x, y) = 0$ のような関係式で定義される集合全体は、必ずしも一つの関数 $y = g(x)$ のグラフとして表されるわけではありません。しかし、多くの場合、関係式で定義される集合の一部を、ある点の周りでは局所的に関数のグラフとして表現できることがあります。陰函数定理は、このような関数（陰関数と呼ばれます）が存在するための十分条件を与えてくれます。

定理の概要

定理が主張するのは、関数 $f(x_1, \dots, x_n, y_1, \dots, y_m)$ がある点 $(a, b)$ において特定の性質（特に、yに関する偏微分からなる部分行列が正則であること）を満たすならば、その点の十分小さな近傍において、方程式 $f(x, y) = 0$ を $m$ 個の変数 $y$ について解き、$n$ 個の変数 $x$ の関数 $y = g(x)$ の形で表すことができる、というものです。ここで得られる関数 $g(x)$ は、必ずしも具体的な既知の関数の組み合わせで書けるとは限りませんが、その存在と滑らかさが保証されます。幾何学的には、関係式 $f(x, y) = 0$ で定義される集合が、点 $(a, b)$ の近くで局所的に超曲面 $y = g(x)$ として表現できることを意味します。

例：単位円

最も身近な例として、二変数関数 $f(x, y) = x^2 + y^2 - 1$ を考えます。方程式 $f(x, y) = 0$ は単位円を表しますが、単位円全体は関数 $y = g(x)$ のグラフとしては表せません。なぜなら、$-1 < x < 1$ の各 $x$ に対して、$y$ の値が $y = \pm\sqrt{1 - x^2}$ のように2つ存在するからです。

しかし、単位円の一部であれば関数のグラフとして表すことができます。例えば、$g_+(x) = \sqrt{1 - x^2}$ とすれば、これは単位円の上半分（$y > 0$ の部分）を表す関数のグラフです。同様に、$g_-(x) = -\sqrt{1 - x^2}$ は下半分（$y < 0$ の部分）を表します。陰函数定理は、このように明示的な形では書けなくても、このような陰関数 $g(x)$ が存在し、十分滑らかであることを保証する一般的な手段を提供します。

定理の主張の詳細

開集合 $\Omega \subset \mathbb{R}^{n+m}$ 上で定義された、連続微分可能な関数 $f: \Omega \to \mathbb{R}^m$ を考えます。$\Omega$ の元を $(x, y) = (x_1, \dots, x_n, y_1, \dots, y_m)$ と表します。点 $(a, b) \in \Omega$ が $f(a, b) = 0$ を満たすとします。このとき、点 $a$ の開近傍 $U$、点 $b$ の開近傍 $V$、および関数 $g: U \to V$ が存在して、次の条件を満たすための十分条件が陰函数定理によって与えられます：

$U \times V$ 内の任意の点 $(x, y)$ に対して、$f(x, y) = 0$ であることと $y = g(x)$ であることが同値である。

この条件は、関数 $f$ の点 $(a, b)$ におけるヤコビ行列を用いて記述されます。ヤコビ行列 $Df(a, b)$ を、変数 $x_1, \dots, x_n$ に関する偏微分からなる部分（$X$）と、変数 $y_1, \dots, y_m$ に関する偏微分からなる部分（$Y$）に分けて考えます。

$$ Df(a, b) = \left( \begin{array}{ccc|ccc} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} & \frac{\partial f_1}{\partial y_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial y_m} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} & \frac{\partial f_m}{\partial y_1} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial y_m} \end{array} \right)_{(a,b)} = (X \mid Y) $$

陰函数定理によれば、この行列 $Y$ が正則行列であること、つまり $\det(Y)
eq 0$ であることが、上に述べた $U, V, g$ が存在するための十分条件となります。また、このとき得られる陰関数 $g$ は、元の関数 $f$ と同じ滑らかさを持つことも分かっています。

単位円の例 $f(x, y) = x^2 + y^2 - 1$ に戻って考えてみましょう。点 $(a, b)$ におけるヤコビ行列は $(2a, 2b)$ です。ここで $n=1, m=1$ ですから、$Y$ に対応するのは $2b$ というスカラーです。これが正則である条件は $2b
eq 0$、すなわち $b
eq 0$ です。したがって、単位円上の点 $(a, b)$ で $y$ 座標 $b$ がゼロでないならば、その点の近くで単位円は $y = g(x)$ という形で局所的に関数として表せます。これは、単位円上で $y
eq 0$ である点、すなわち $(\pm 1, 0)$ 以外の全ての点に定理が適用できることを意味します。点 $(\pm 1, 0)$ では $y=0$ ですが、これらの点では逆に $x$ を $y$ の関数として考える（$x = h(y)$ の形）ことができます。この場合、ヤコビ行列で $x$ と $y$ の役割が入れ替わり、$X$ に対応する部分が正則であるという条件を満たすためです。

関係式から定まる陰関数の微分は、元の関係式の全微分を考えることで求められます。単位円の例では $x^2 + y^2 - 1 = 0$ の全微分は $2x \, dx + 2y \, dy = 0$ となり、$y$ を $x$ の関数と見れば $dy/dx = -x/y$ となります。

応用：座標変換と逆写像定理

陰函数定理は、座標変換の可逆性に関する重要な定理である逆写像定理を証明するのに利用できます。m次元空間において、旧座標 $(x_1, \dots, x_m)$ から新座標 $(x'_1, \dots, x'_m)$ への変換が $x'_i = h_i(x_1, \dots, x_m)$ （$i=1, \dots, m$）という関数系で与えられるとします。この変換が局所的に可逆であるか、すなわち新座標から旧座標を関数として求められるかどうかを考えます。

これは、$f(x'_1, \dots, x'_m, x_1, \dots, x_m) = (h_1(x) - x'_1, \dots, h_m(x) - x'_m) = 0$ という関係式を持つ問題と捉えられます。ここで、陰関数定理を適用し、旧座標 $x = (x_1, \dots, x_m)$ を新座標 $x' = (x'_1, \dots, x'_m)$ の関数として表せる条件を求めます。点 $(a, b) = (x', x)$ における $f$ のヤコビ行列を、変数 $x'$ に関する部分と $x$ に関する部分に分けると、行列は $(-I_m \mid J)$ の形になります。ここで $I_m$ は $m \times m$ 単位行列、$J$ は関数系 $h$ のヤコビ行列 $J = (\partial h_i / \partial x_j)_{(a,b)}$ です。陰函数定理によれば、この行列 $J$ が正則であること、つまり $\det(J)
eq 0$ であることが、旧座標が新座標の関数として局所的に表せるための十分条件となります。これはまさに逆写像定理の主張に他なりません。

具体例として、平面上の直交座標 $(x, y)$ と極座標 $(r, \theta)$ の間の変換 $x = r \cos\theta, y = r \sin\theta$ を考えます。ここで、旧座標を $(r, \theta)$、新座標を $(x, y)$ と見ると、変換関数は $h_1(r, \theta) = r \cos\theta$, $h_2(r, \theta) = r \sin\theta$ です。この変換のヤコビ行列は

$$ J = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix} $$

その行列式は $\det(J) = r\cos^2\theta - (-r\sin^2\theta) = r(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = r$ となります。したがって、$\det(J)
eq 0$ である条件は $r
eq 0$ です。これは、原点以外の点であれば、直交座標から極座標への逆変換が局所的に可能であることを示しています。実際、原点 ($r=0$) では角度 $\theta$ が一意に定まらないため、逆変換は不可能です。

一般化

陰函数定理は、より抽象的な設定にも拡張されます。特に、関数がバナッハ空間上の写像である場合にも同様の定理が成立します。また、元の関数が必ずしも微分可能でない場合についても、特定の条件（例えば、ある変数に関する写像が局所的に一対一であることなど）の下で、陰関数が存在し連続となることを示す定理が存在します。

陰函数定理は、解析学における様々な議論の基礎となる強力な道具であり、多様体の理論や最適化理論など、多くの分野で利用されています。

関連する定理として、陰函数定理と逆写像定理を統一的に扱う階数一定定理があります。

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