離心近点角

離心近点角について

離心近点角（りしんきんてんかく、英語: eccentric anomaly）は、楕円軌道の位置を表すための角度パラメータの一つです。特に、楕円の形状に基づいて天体の位置を決定する上で重要な役割を果たします。この角は、楕円上の任意の点を、外接円の長軸に対して射影した場合に、近点からその点までの角度として定義されます。

基本的な定義と楕円の方程式

楕円は、長半径を a 、短半径を b とする場合、以下の方程式で表されます。

$$
\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1
$$

この方程式を基にして、媒介変数を用いることにより、楕円上の点の座標は次のように表されます。

$$
\begin{align}
\text{x} &= a \cos E, \\
\text{y} &= b \sin E
\end{align}
$$

ここで、E が離心近点角です。このようにして、離心近点角を用いることで楕円軌道の位置を詳しく解析することができます。

離心率と中心天体からの距離

離心近点角は、軌道を特徴づける離心率 e および長半径 a と関連しており、軌道上の任意の点の中心天体（焦点）からの距離 r は次のように表されます。

$$
r = a (1 - e \cos E)
$$

この式からも明らかなように、離心近点角 E が変化することで、楕円上の天体の位置や距離が変わることがわかります。

また、真近点角 ν との関係も次のように表現できます。

$$
\cos
u = \frac{\cos E - e}{1 - e \cos E}
$$

さらに、周期ごとの変化を考慮することで、次のような関係が成り立ちます。

$$
\tan \frac{
u}{2} = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \tan \frac{E}{2}
$$

ケプラーの方程式とその応用

ケプラーの法則に基づき、平均近点角 M は離心近点角 E と次の関係にあります。

$$
M = E - e \sin E
$$

この式はケプラーの方程式と呼ばれ、楕円軌道を計算する際に非常に有用です。特に、離心率 e が小さい場合（具体的には e < 0.6627434 の条件が満たされる場合）、最初の項として E_0 = M を選び、次の漸化式を用いてこの方程式を解くことができるのです。

$$
E_{i+1} = M + e \sin E_{i}
$$

このように展開していくことで、Eの近似値を算出することができます。初めの数項については、次のように表現することができます。

$$
E = M + e \sin M + \frac{e^2}{2} \sin 2M + \frac{e^3}{8}(3 \sin 3M - \sin M) + \dots
$$

このように、離心近点角は天体の運動学において非常に重要な概念であり、楕円軌道を解析するための基本的な要素となっています。

関連項目

• - ケプラーの法則
• - 軌道要素
• - 平均近点角
• - 真近点角
• - 射影近点角

このように、離心近点角に関する理解を深めることで、楕円を描く天体の運動をより正確に理解することが可能です。

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