電磁場の量子化

量子電磁力学と電磁場の量子化

量子電磁力学において、電磁場の量子化は重要な側面であり、ここではその仕組みと関連するポイントについて詳しく説明します。量子化の過程では、粒子の運動量が演算子に置き換えられ、このプロセスを通じて電磁場が光子の集まりであることが明らかになります。具体的には、電磁ポテンシャルの時間微分が電場を、空間微分が磁場を表すことに注意が必要です。

量子電磁場の量子化には主に二つのアプローチがあります。一つ目の方法は、場の量子論に基づいて古典的な電磁場を量子化する直接的なアプローチです。もう一つは、古典電磁気学の理論と解析力学を組み合わせ、古典的電磁場が無限個の調和振動子の集まりに等しいことを示し、その調和振動子を量子力学的な視点から量子化することです。以下では、この後者の方法に焦点を当てます。

古典的な電磁場と調和振動子の関係

まず、体積`V = L^3`の立方体に閉じ込められた電磁場を考えてみましょう。この電磁場は、電場 `E(r,t)` と磁場 `B(r,t)` という二つのベクトル場で構成されます。これらはマクスウェル方程式を満たす必要があります。真空中では、電磁ポテンシャルであるベクトルポテンシャル `A(r,t)` とスカラーポテンシャル `Φ(r,t)` を導入し、次のように表現できます。

$$egin{aligned}
ext{B}(r,t) &=
abla imes A(r,t) \
ext{E}(r,t) &= -
abla ext{Φ}(r,t) - rac{ ext{d} A(r,t)}{ ext{d} t}.
\end{aligned}$$

ここで、`∇×A` は `A` の回転を表しており、`A(r,t)` と `Φ(r,t)` の選び方には任意性があります。今回は、クーロンゲージ `∇·A(r,t) = 0` を採用し、これにより横波のみに焦点を当てます。マクスウェル方程式は、このような電磁ポテンシャルを用いて書き換えることができ、ベクトルポテンシャルは波動方程式を満たさなければならないことわかります。

したがって、`E` や `B` の成分が実数であることを考慮し、ベクトルポテンシャルは平面波を基底にフーリエ展開することが可能です。

$$egin{aligned}
A(r,t) &= rac{1}{ ext{V}} 
∑_{k}  ∑_{egin{align} ext{μ} ext{=-1,1}
ight)} ext{e}^{( ext{μ})}( ext{k}) \
& imes ig[ a_{ ext{k}}^{( ext{μ})}(t)e^{i ext{k}oldsymbol{ullet} ext{r}} + a_{ ext{k}}^{*( ext{μ})}(t)e^{-i ext{k}oldsymbol{ullet} ext{r}} ig]. \ \
ext{(ここで} a_{ ext{k}}^{( ext{μ})}(t) ext{は初期条件による定数)})\egin{aligned}
ext{となる。}
ext{周波数（ω）は、波数（k）との関係で次のように表されます。}\ ext{ω = c |k|}.
\end{aligned}$$

この`k`を決定すると、その`k`に垂直な二つの単位ベクトル（偏光ベクトル）と時間依存性を表す `ω` が決まり、ベクトルポテンシャルの特定が可能となります。古典的な電磁場のハミルトニアンは次のように書かれます。

$$H = rac{1}{2} ext{ϵ}_{0}  ext{
∭}_{ ext{V}} ig( E(r,t)^{2} + c^{2}B(r,t)^{2} ig) ext{d}^{3}r.$$

ここで新たに
$$ Q_{ ext{k} ext{μ}}(t) ext{を導入し、演算子を用いてより洗練された表現にします。これによって電磁場のエネルギーは無限個の一次元調和振動子の和として捉えられることが示されます。}

電磁場の量子化

粒子に関する量子化の過程では、運動量が演算子に置き換えられるのと同じ方法で電磁場でも同様の置き換えを行います。

$$ p(t)
ightarrow -i ext{ℏ}
abla. $$

ここでプランク定数が導入され、古典的表現の時間依存性は量子力学的な演算子に引き継がれません。この方法が電磁場に適用されることで、次に示すように運動量を演算子に置き換えることが行われます。

例えば、古典的な電磁場のハミルトニアンを基に演算子を適用することで、量子論的な电磁場のハミルトニアンが得られます。これにより、量子化された電磁場は量子的調和振動子の集合として理解されることになります。

$$egin{aligned}
ext{ハミルトニアン :} \
ext{H} = rac{1}{2 ext{ϵ}_{0}} ext{P}_{kμ}^{2}(t) + rac{ ext{ϵ}_{0}}{2} ext{ω}^{2} Q_{kμ}^{2}(t).
\ ext{これにより、理論的背景と実験的知見を合わせて、電磁場の量子化のメカニズムが詳しい理解として結実するでしょう。}
ext{ですので、} Q_{kμ}(t) ext{の構造を解析することが必要です。}
\end{aligned}$$

このように、量子電磁力学における電磁場の量子化は、基礎となる物理法則を用いて新たな視点から再評価する機会を提供し、様々な量子現象の理解の深化につながると言えるでしょう。

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