非可換幾何

非可換幾何学とは、数学において、積の順序を変えると結果が変わるような「非可換な」代数構造を、あたかも図形や空間であるかのように幾何学的に捉え、その性質を研究する分野です。通常の幾何学では、空間上の関数の積は常に可換であるという前提がありますが、この前提を取り払うことで、どのような数学的な現象や構造を記述できるようになるのかを探求します。

概要

20世紀を通して、数学者たちは幾何学的な対象である図形と、その図形上で定義される関数の集まりがなす代数構造との間に、深い結びつきがあることを見出しました。例えば、連続的な図形である位相空間の上で定義される連続関数全体は、足し算や掛け算（点ごとの積）に関して「可換環」という代数構造を作ります。そして、特定の条件（例えば、空間がコンパクトでハウスドルフ的であることなど）のもとでは、その空間自体を、対応する可換環の性質から完全に復元できることが知られています。この事実は、可換環という代数的な視点から、対応する図形の幾何学的な情報を引き出すことができるということを示しています。

一方、量子力学では、物理量を互いに「非可換な」作用素として表現するという革新的な考え方が導入されました。これに続き、関数解析学や数理物理学などの分野で、非可換な環が仮想的な空間上の関数群に対応するものとして登場します。可換環が通常の図形に対応することとの類推から、これらの非可換環は、通常の図形が何らかの形で変形されたかのような「仮想的な図形」に対応すると捉えられます。非可換幾何学は、この非可換環に対して、可換環から図形情報を引き出す際に用いられた手法を応用することで、それが表す仮想的な「非可換空間」に関する幾何学的な情報を定式化しようと試みるものです。この場合、「空間」という言葉は直接的な図形を指すのではなく、概念を理解するための媒介として機能しています。

非可換幾何学は、量子力学における物理量がヒルベルト空間上の有界線型作用素として表されることから、作用素環論と密接に関わって発展しました。特にアラン・コンヌは作用素環論を中心とした非可換幾何学の研究を大きく進めました。しかし、1980年代の量子群や1990年代の非可換代数幾何の登場により、その研究範囲は作用素環論の枠を超え、数学の様々な分野に広がっています。

非可換な対象の例

非可換幾何学で研究される具体的な対象としては、以下のようなものが挙げられます。

非可換な作用素環: 可換なC-環が局所コンパクト空間上の連続関数環に対応し、元の空間がC-環から復元できるというゲルファント表現の考え方に基づき、非可換なC-環は通常の空間の非可換な変形と見なされます。また、可換フォン・ノイマン環と測度空間の対応から、非可換フォン・ノイマン環は非可換測度空間とも呼ばれます。
非可換な可微分多様体: 通常の可微分多様体が、その上の滑らかな関数環やベクトル束の切断によって特徴づけられるように、非可換な代数（非可換環）やその上の加群を用いて、非可換版の多様体を定式化しようとする研究です。微分や積分に対応する概念の非可換版も考えられます。
非可換スキーム: 代数幾何学におけるスキーム、特に射影代数多様体上の連接層の圏を非可換な文脈で変形することで得られる概念です。

非可換空間の例

非可換幾何学の考え方が適用される具体的な例としては、以下のようなものが知られています。

ワイルの量子化: 解析力学における相空間はシンプレクティック幾何学で記述されますが、これを量子力学の正準交換関係を満たす非可換な位置・運動量作用素によって表現される空間へと変形する考え方です。
葉層構造の葉の空間: 多様体が葉層構造を持つとき、同じ葉にある点を同一視してできる空間は、しばしば通常の図形としては扱いにくい性質を持ちます。各葉上で畳み込みを積とする非可換代数を考えることで、この空間上の関数環を非可換作用素環として捉えることができます。
* 群作用による商空間: 位相空間に群が作用しているとき、古典的な意味での商空間（群作用で不変な関数全体）に対応する代数は可換環ですが、群環と関数環の接合積という非可換作用素環を考えることで、より豊かな構造を捉えることができます。

歴史

非可換幾何学のアイデアは、ジョン・フォン・ノイマンが量子力学の物理量を記述するために創始した作用素環論にその源流を見ることができます。その後、ゲルファント・ナイマルクの定理などにより、可換作用素環が古典的な空間に対応することが明確になり、非可換作用素環にも数多くの類似や、古典的な枠組みでは扱いにくい対象を取り扱える可能性が認識されるようになりました。アラン・コンヌによる作用素環論に基づく非可換幾何学の研究がこの分野を大きく発展させましたが、その技法の一部はエルゴード理論などのより古い分野にもルーツがあります。例えば、群作用による商空間の考え方を仮想的な「部分群」として捉えるジョージ・マッケイの発想などが影響を与えています。

この分野は、純粋数学の様々な分野だけでなく、理論物理学、特に素粒子物理学や宇宙論などとも深く関連しており、現在も活発に研究が進められています。

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