非可換環

非可換環とは

非可換環とは、数学の一分野である現代代数学において重要視される概念で、環の乗法が可換でない場合を指します。すなわち、ある元 a と b に対して a•b ≠ b•a となるような環 R が存在することを意味します。これは可換環とは明確な違いを持ち、多くの場合で複雑な構造を持つことが特徴です。非可換環に関連する理論は非可換環論と呼ばれ、可換環に関する知識が大いに活用されますが、可換環とは異なる性質が研究されています。

非可換環の例

具体的な非可換環の例としては以下のものがあります。

• - 実数上の n 次全行列環（n > 1の場合）
• - ハミルトンの四元数

d- 可換でない群から生成される群環

• - ワイル代数

これらは非可換環の特有の振る舞いと構造の一端を示しています。

歴史

非可換環の研究は幾何学から派生した可除環に由来し、19世紀から20世紀にかけて多くの数学者によって発展してきました。E. ArtinやRichard Brauer、P. M. Cohnなど、歴史的に著名な数学者たちがこの分野に貢献しており、彼らによる多くの成果が蓄積されています。

可換環との違い

可換環は非常に特化した環のクラスですが、非可換環はこれよりも広範囲な概念です。このため、非可換環についての理解は可換環に比べると未だ十分ではありません。特に、非可換環の研究では左右のイデアルを考慮する必要があり、場合によっては右イデアルに特定の条件を課し、左イデアルには課さないというアプローチが取られることもあります。

重要な非可換環のクラス

可除環

可除環（または斜体）は、任意の非ゼロ元が逆元を持つ環です。可除環の唯一の違いは、乗法が必ずしも可換でない点です。有限の可除環は必然的に可換であることがウェダーバーンの小定理により示されています。

半単純環

半単純環は加群の特性に基づいて定義されます。単位的環上の加群が直和である場合を示すもので、すべての左半単純環は右半単純環であることが知られています。

単純環

単純環は、自身と零イデアル以外に両側イデアルを持たない零環でない環です。この環の性質は非常に単純ですが、加群の構造を考えると、加群としては単純とならないことがあります。

重要な定理

• - ウェダーバーンの小定理: すべての有限域が可換体であることを述べます。
• - アルティン・ウェダーバーンの定理: 半単純環は可除環上の行列環として分類されます。
• - ジャコブソンの稠密性定理: 環上の単純加群に関する結果であり、原始環の理解を助けます。

応用

最近では非可換環の局所化や、微分作用素に関連する研究、さらには超局所解析といった分野においても非可換環の理論が応用されています。このように、非可換環は数学のあらゆる側面において重要な役割を果たしているのです。

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