非心t分布

非心t分布

非心t分布（ひしんティーぶんぷ、英: noncentral t-distribution）は、統計学における重要な確率分布の一つであり、広く知られているスチューデントのt分布をより一般化したものです。中心が0ではない（非心な）状況での統計的推論に特に有用で、例えば標本データだけに基づいて「ある集団の上位10パーセント」のような、中心位置からずれた統計量に関する信頼区間を求める際などに利用されます。

定義

非心t分布に従う確率変数Tは、以下の構成要素から定義されます。

標準正規分布に従う確率変数 Z （平均0、分散1）
自由度νのカイ二乗分布に従う確率変数 V
これら Z と V は互いに独立である
実定数である非心パラメーター μ

これらの要素を用いて、確率変数Tは、標準正規分布に従う確率変数Zに非心パラメーターμを加えたものを、自由度νのカイ二乗分布に従う確率変数Vを自由度νで割った値の平方根で割ることで得られます。

ここで、ν はこの分布の自由度、μ は非心パラメーターと呼ばれます。非心パラメーター μ が0の場合、この分布は標準的なスチューデントのt分布と一致します。また、多くの他の非心分布とは異なり、非心パラメーター μ は負の値を取ることも可能です。

性質

非心t分布の性質は、自由度 ν と非心パラメーター μ の値に依存します。その確率的な振る舞いを記述する関数として、確率密度関数（PDF）と累積分布関数（CDF）があります。これらの関数は、μ=0の場合のt分布のものと比較してより複雑な形をしています。

確率密度関数: 非心t分布の確率密度関数は、変数tに対して特定の複雑な積分を含む数式で与えられます。この関数は ν > 0 の場合に定義され、実数全体を定義域とします。
累積分布関数: 非心t分布の累積分布関数は、変数xに対する累積確率を表し、特定の複雑な無限級数や特殊関数（正則化された不完全ベータ関数、標準正規分布の累積分布関数、ガンマ関数など）を用いて定義されます。x >= 0 の場合と x < 0 の場合で異なる数式が適用されます。

これらの関数は、実際の計算においては専用の統計ソフトウェアやライブラリを用いて評価されることが一般的です。

統計量

非心t分布に従う確率変数Tの平均と分散は、自由度 ν の値によって存在するかどうかが決まります。

平均 (E[T]):
自由度 ν が 1 より大きい場合 (ν > 1) に存在します。その値は μ と ν を含む複雑な式で計算されます。
自由度 ν が 1 以下の場合 (ν ≤ 1) は存在しません。
分散 (Var[T]):
自由度 ν が 2 より大きい場合 (ν > 2) に存在します。その値は μ と ν を含むさらに複雑な式で計算されます。
自由度 ν が 2 以下の場合 (ν ≤ 2) は存在しません。

このように、平均や分散が存在するためには、ある程度大きい自由度が必要となります。これは標準のt分布における平均や分散の存在条件と同様ですが、μの影響が加わります。

特別な場合と関連分布

標準t分布との関係: 非心パラメーター μ が厳密に0である場合、非心t分布は中心t分布、すなわち標準的なスチューデントのt分布に帰着します。これは、非心t分布が標準t分布を拡張した概念であることを明確に示しています。
非心F分布との関係: 非心t分布に従う確率変数Tを二乗すると、その結果は非心F分布に従うことが知られています。これは両分布間の重要な関係性を示しています。
* 正規分布との関係: 自由度 ν を無限大に近づける極限において、非心t分布は正規分布に近づきます。これは、t分布が自由度増加とともに正規分布に近づく性質を非心ケースでも保持していることを意味します。

これらの関連性により、非心t分布は他の基本的な確率分布と深く結びついており、統計理論や応用において広範な位置を占めています。

関連事項として、カイ二乗分布、非心F分布、正規分布、および標準t分布といった概念も、非心t分布の理解や応用において重要となります。

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