面 (幾何学)

初等幾何学における面

初等幾何学において、面（face）とは、立体図形の境界を形成する二次元の図形のことです。特に、平坦な面で完全に囲まれた三次元図形を多面体と呼びます。多面体の面は、多角形であり、例えば立方体は6つの正方形の面を持っています。また、平面を多角形で分割する平面充填における充填多角形も面の一種と考えることができます。

多角形面

多面体の境界を成す多角形が、ここで言う「面」です。これは、多面体の側面や、平面充填のタイルとしても捉えられます。

例として、立方体は6つの正方形の面で構成されており、それぞれの正方形が立方体の面となります。

さらに、高次元の図形である多胞体（四次元超多面体）においても、「面」という用語が二次元要素を表すために用いられることがあります。例えば、正八胞体は24個の正方形面を持ち、各面は8つの立方体胞の境界に位置しています。

多面体の面ではない多角形にも、重要なものが存在します。例えば、ペトリー多角形、頂点形状、琢刻多角形などが挙げられます。

任意の凸多面体の境界面は、オイラーの多面体公式を満たします。


V - E + F = 2


ここで、Vは頂点数、Eは辺数、Fは面数を示します。この公式から、面の数は辺数から頂点数を引いた数に2を加えたものとなります。例えば、立方体は8つの頂点と12の辺を持つため、面数は6となります。

その他の面

円柱や円錐など、多面体ではない立体図形も、平坦でない面や多角形でない面を持つことがあります。これらの面は、底面、上面、側面などと呼ばれます。

高次元の「面」

高次元幾何学では、「面」はより一般的な概念となり、超多面体の任意の次元の要素を指します。k次元の面はk-面と呼ばれます。通常の多面体の多角形面は二次元面にあたります。超多面体自体と空集合も面の集合に含まれ、空集合の次元は-1と定義されます。

例えば、立方体の面集合は、空集合（-1次元面）、頂点（0次元面）、辺（1次元面）、正方形面（2次元面）、そして立方体自身（3次元面）で構成されます。

四次元の多胞体における面は、以下のように分類されます。

四次元面: 多胞体自身
三次元面: 多面体胞
二次元面: 多角形面
一次元面: 辺
零次元面: 頂点
(-1)次元面: 空集合

ポリトープの面

多面体的組合せ論では、超多面体（ポリトープ）は凸であると定義されます。この場合、ポリトープPの面とは、Pと、その境界がPの内部と交わらない任意の閉半空間との交わりを指します。この定義により、ポリトープの面全体の集合には、ポリトープ自身と空集合が含まれます。

抽象超多面体論や星型超多面体論など、他の分野では超多面体の凸性は前提とされませんが、面全体の集合に超多面体自身と空集合が含まれる点は共通です。

胞

四次元の多胞体や三次元空間充填（ハニカム）、およびそれらの高次元版において、三次元の面となる多面体要素を胞（cell）と呼びます。特に多胞体および空間充填のファセット（後述）は胞になります。

ファセット

高次元の超多面体や超空間充填において、余次元1の面をファセット（facet）と呼びます。すなわち、n次元多面体のファセットは(n-1)次元の面です。任意の超多面体はそのファセットによって囲まれます。

例：

線分のファセットは頂点です。
多角形のファセットは辺です。
多面体のファセットは面です。
多胞体のファセットは胞です。
五次元超多面体のファセットは四次元面です。

リッジ

超多面体および超空間充填の余次元2の面はリッジ（ridge）または劣ファセット（subfacet）と呼ばれます。すなわち、n次元多面体のリッジは(n-2)次元の面です。リッジはちょうど2つのファセットに含まれる面になります。

例：

多角形のリッジは頂点です。
多面体のリッジは辺です。
多胞体のリッジは面です。
五次元超多面体のリッジは胞です。

ピーク

超多面体および超空間充填の余次元3の面はピーク（peak）と呼ばれます。すなわち、n次元多面体のピークは(n-3)次元の面です。正超多面体や正超空間充填では、ピークはファセットおよびリッジの回転軸を含みます。

例：

多面体のピークは頂点です。
多胞体のピークは辺です。
五次元超多面体のピークは面です。

まとめ

この記事では、幾何学における「面」という概念について、初等幾何学から高次元幾何学まで幅広く解説しました。多面体の構成要素としての面、高次元における面の捉え方、そして関連する概念である胞、ファセット、リッジ、ピークについて理解を深めていただけたかと思います。これらの概念は、幾何学的な対象をより深く理解するための基礎となります。

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