高度過剰数

高度過剰数について

高度過剰数（こうどかじょうすう、英: highly abundant number）は、特定の条件を満たす自然数の一種です。具体的には、ある自然数 n に対して、n より小さい全ての自然数 m に対して、m の約数の和を表す関数 σ(m) が n の約数の和 σ(n) よりも小さいという性質を持っています。この定義によれば、m < n である場合に対して、

σ(m) < σ(n)

が成立します。

高度過剰数の具体例

高度過剰数の例を挙げると、最初の数は以下の通りです：
1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 42, 48, 60, 72, 84, 90, 96, 108, 120, 144, 168, 180, 192 などです（オンライン整数列大辞典の数列 A002093）。

興味深いことに、「過剰数」という用語が使われているにもかかわらず、全ての高度過剰数が過剰数であるわけではありません。例えば、最初の9つの高度過剰数の中には不足数や完全数が含まれており、1, 2, 3, 4, 8, 10, 16が不足数であり、6は完全数とされています。一方、12と18以上の高度過剰数はすべて過剰数に分類されます。

高度過剰数の発展

この概念は、数学者のピライ（Pillai）によって初めて定義され、その後、アラオグとエルデシュ（Alaoglu and Erdős）によってさらなる研究が行われました。彼らは104までの高度過剰数をリストアップし、その特性を調査しました。

例えば、5は高度過剰数ではありません。なぜなら、σ(5) = 6であり、5未満の数4のσ(4)は7であるため、条件を満たさないからです。しかし、8については、σ(8)は15であり、8未満の自然数の中にはσ(8)を上回る約数の和を持つ数が存在しないため、8は高度過剰数であると言えます。さらに、奇数の高度過剰数は1と3だけという特異な性質もあります。

他の数との関連

高度過剰数と関連する興味深い事実の一つは、階乗に関するもので、1から8までの階乗はすべて高度過剰数ですが、すべての階乗がそれに該当するわけではありません。たとえば、9!の約数の和 σ(9!)は1481040ですが、この値よりも小さな数でより大きな約数の和を持つ数が存在します。したがって、9!は高度過剰数とはいえません。

また、アラオグとエルデシュは、全ての超過剰数が高度過剰数であると示しました。さらに、超過剰数でない高度過剰数が無限に存在するだろうと予想され、これはジャン＝ルイ・ニコラスによって正しく示されたとされています。

7200は所有する素因数の指数部分がすべて2以上の最大の高度過剰数とされています。具体的に言うと、7200は25×32×52で表されます。これより大きな高度過剰数には、指数部分が2未満の素因数が含まれており、したがって7200は約数の合計が奇数となる最大の高度過剰数であるという興味深い特徴を持っています。

参考文献

• - Alaoglu, L.; Erdős, P. (1944). “On highly composite and similar numbers”. Transactions of the American Mathematical Society.
• - Nicolas, Jean-Louis (1969). “Ordre maximal d'un élément du groupe Sn des permutations et 'highly composite numbers'”. Bull. Soc. Math. France.
• - Pillai, S. S. (1943). “Highly abundant numbers”. Bull. Calcutta Math. Soc.

関連項目

• - 過剰数
• - 超過剰数

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