2の立方根

2の立方根について

2の立方根（にのりっぽうこん）は、数値が立方（3乗）されたときに2と等しくなる数を指します。これは、数$r$について$r^3 = 2$が成立することを意味します。この数は、数学の古典的な問題である立方体倍積問題に関連しており、具体的には、一辺の長さが1の立方体の体積を2倍にするための立方体の一辺の長さが$
oot{3}{2}$に等しいことが知られています。

概要

2の立方根は複素数の範囲で3つの解が存在しますが、そのうちの1つは実数で、記号$
oot{3}{2}$で表現されます。残りの2つは複素数で、次のように書かれます：

• - $rac{-1 +

oot{3}{3}i}{2}
oot{3}{2}$

• - $rac{-1 -

oot{3}{3}i}{2}
oot{3}{2}$

この2つの数は互いに複素共役であり、実数ではありません。また、$
oot{3}{2}$が無理数であることは、数理的な手法を用いて証明することが可能です。具体的には、有理根定理や背理法などを用いて、多項式$x^3 - 2$の有理根候補を調べることで確認できます。この多項式の整数係数に対して、有理数の候補は±1と±2のみですが、どの数も根にはなりません。そのため、$
oot{3}{2}$は有理数ではないと結論づけられます。

オンライン整数列大辞典では、$
oot{3}{2}$の十進記数法での具体的な値が107桁まで表示されています。この数の小数点以下の桁は、無限に続く循環しない数です。

$$
oot{3}{2} = 1.2599210498947367476...$$

性質

$
oot{3}{2}$は代数方程式$x^3 - 2 = 0$の根の一つです。この多項式は有理数の範囲において既約であり、したがって$
oot{3}{2}$の最小多項式は$x^3 - 2$で、次数は3です。複素数においては、$
oot{3}{2}$の3つの立方根がそれぞれ異なる偏角を持ち、複素平面上では等間隔に配置されています。

興味深い点は、$
oot{3}{2}$が定規とコンパスを用いた作図では表現できない数であるという事実です。この理由は、作図可能な数が有理数体から2次的拡大を通じて生成される数に限られており、その最小多項式の次数が2の冪でなければならないからです。

$
oot{3}{2}$の最小多項式である$x^3 - 2$の次数は3ので、これにより作図が不可能であることが示されています。この理論に関する結果は、1837年にピエール・ヴァンツェルによって証明されました。これにより、2の立方根は古代の立方体倍積問題とも関連があり、デロスの定数（Delian constant）として知られています。

また、$
oot{3}{2}$の連分数展開は以下のように表されます：

$$
oot{3}{2} = 1 + rac{1}{3 + rac{1}{1 + rac{1}{5 + rac{1}{1 + rac{1}{1 + rac{1}{4 + rac{1}{ ext{...}}}}}}}}$$

この表現は、近似値を計算する際に打ち切ることで利用されます。2の立方根は数学の多様な問題に結びつき、研究が進められています。

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