E.ホップの拡張定理

E.ホップの拡張定理

E.ホップの拡張定理は、有限加法的測度を完全加法族上に拡張するための必要条件を示す重要な理論です。この定理により、特定の条件下で定義された測度をより広範な集合に適用する際の方法が明らかになります。

定義

まず、数学における用語について説明します。集合をXとし、その上の有限加法族をFとします。このF上に定義された有限加法的測度をμとし、Fが生成する完全加法族をσ[F]とします。このとき、測度μが完全加法族上に正しく拡張するための条件は、μがF上で完全加法的であることです。

一意的な拡張

さらに、もしX上に可算個の要素X₁, X₂, …があり、すべてのkに対してμ(Xk) < ∞が満たされるとき、Xはこれらの要素の和集合に等しいとします。この場合、測度の拡張は一意的であることが保証されます。

関連する理論

E.ホップの拡張定理は、カラテオドリの拡張定理とも関係しています。カラテオドリの定理は、特にジョルダン測度がルベーグ測度に一意に拡張されることを示しており、ホップの定理はより一般的な有限加法的測度に関連しています。ただし、一部の文献ではホップの理論がカラテオドリの拡張定理として記載されていることもあります。

定理の内容

定理の具体的な内容を考えると、Σ₀を集合Xの部分集合の有限加法族とし、μ₀がΣ₀上で有限加法的であるとします。これは次の条件を満たすことを意味します：

$$
egin{equation}
μ₀igg(igcup_{n=1}^{N}A_nigg) = extstyle igg(igcup_{n=1}^{N} μ₀(A_n) igg) ext{ for any disjoint } A_1, A_2, ext{ ... , } A_N ext{ in } Σ₀.
igg)
$$
このような性質を持つ関数は、前測度として知られています。さらに、もしμ₀がσ-加法的であれば、μ₀はσ-代数Σによって生成される測度に拡張可能です。

拡張の非一意性

ただし、μ₀がσ-有限でない場合、この拡張は必ずしも一意であるとは限りません。実際、σ-有限でない場合、拡張自体がσ-有限であったとしても、他の拡張可能性が存在するため、一意性が失われます。

例えば、Xを有理数の区間[0, 1)として定義し、Σ₀をこの区間に含まれるすべての有理閉開区間の有限な合併とします。このとき、関数μ₀を集合の計数関数として定義すると、すべての空でない集合に対してμ₀(A)=+
∞が成り立ちます。これをもとにσ-代数Σを生成すると、その中には無限に多くの異なる拡張が含まれることが分かります。

解説

この定理の大きな特徴は、有限加法族の小さい部分集合から始めて、完全加法族に拡張できるという点です。この過程は必ずしも自明ではなく、特に測度の拡張が一意であるかどうかが重要な問題になります。

参考文献

• - 伊藤清三『ルベーグ積分入門』（第46版）裳華房

関連項目

• - 前測度
• - カラテオドリの拡張定理
• - コルモゴロフの拡張定理

このように、E.ホップの拡張定理は測度論において基本的かつ重要な役割を果たしており、他の定理との関係性も含めて理解することで、数学の基礎的な概念の一助となります。

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