Q-ガウス分布

q-ガウス分布

q-ガウス分布（q-Gaussian distribution）は、確率論や統計力学における確率分布の一つです。この分布は、分散が一定という条件下で、非加法的なエントロピーであるTsallisエントロピーを最大化する原理に基づき導かれます。これは、通常の統計力学におけるボルツマン・ギブズ統計がボルツマン・ギブズエントロピーを最大化することに対応する、Tsallis統計の枠組みにおける基本的な確率分布です。物理学者のコンスタンティーノ・ツァリスによって提唱され、特に平衡状態から外れた系や複雑系の解析に用いられます。

この分布の重要な特徴は、パラメータ `q` によってその形状が変化する点です。`q = 1` の場合、q-ガウス分布は標準的なガウス分布（正規分布）に一致します。Tsallisエントロピーは `q = 1` の極限でボルツマン・ギブズエントロピーとなるため、これは自然な対応です。したがって、q-ガウス分布はガウス分布を一般化した分布族と見なせます。

パラメータ `q` は、系の非加法性や長距離相関の度合いを示すと解釈されます。`q < 1` の場合は確率密度関数が有限の範囲に限定される形状となり、`q > 1` の場合はガウス分布よりも裾野が厚い分布となります。この「重い裾野」の性質は、大きな変動が比較的頻繁に発生する現象、例えば金融市場の価格変動や自然現象における極値などを記述する際に有用です。

特定の `q` の値では、他のよく知られた確率分布と一致することが知られています。

q = -1: ウィグナー半円分布に一致します。ランダム行列理論などで現れる分布です。
q = 1: ガウス分布（正規分布）に一致します。最も基本的な確率分布の一つです。
q = 2: コーシー分布に一致します。期待値や分散が定義されない重い裾野を持つ分布です。

これらの特殊な一致は、q-ガウス分布が多様な統計的性質を持つ現象を統一的に表現できる可能性を示唆しています。ガウス分布が適用しにくい非線形系や長距離相関のある系、例えばプラズマ物理、地球物理学、生物学、経済学、情報科学など、複雑系の研究における応用が進んでいます。

関連概念としては、基盤となるTsallis統計とTsallisエントロピーがあります。q-ガウス分布は、これらの非加法的な統計学の枠組みの中で中心的な役割を果たす分布です。

q-ガウス分布の研究は現在も活発に行われており、その理論的な性質の深い理解と、現実世界の様々な複雑な現象への応用が探求されています。

参考文献：

須鎗弘樹 (2009年). “Tsallis統計の基礎数理” (PDF). SummerSchool 数理物理2009.
須鎗弘樹 (2010-08-20). 複雑系のための基礎数理. 数理情報科学シリーズ 23. 牧野書店. ISBN 978-4-434-14737-1.

関連事項：

Tsallis統計
* Tsallisエントロピー

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