T1空間

位相空間論における分離公理は、空間上の点が位相的にいかに分離されているかを示す条件であり、T1-空間（迫接空間、フレシェ空間とも）とR0-空間（対称空間とも）はその基本的なものに位置づけられる。

定義
位相空間 X において、相異なる二点 x, y が「分離される」とは、x を含む開集合であって y を含まないものと、y を含む開集合であって x を含まないものがそれぞれ存在する場合を指す。
T1-空間 は、任意の相異なる二点 x, y が分離される空間である。
R0-空間 は、任意の位相的に識別可能な二点 x, y が分離される空間である。
二点 x と y が位相的に識別不能であるとは、x を含む開集合の全てが y を含み、かつ y を含む開集合の全てが x を含む場合をいう。位相的に識別可能であるとは、この条件が成り立たない場合である。R0-空間は、位相的に識別可能な任意の二点に対して、互いを含まない開集合によって分離できるという条件を満たす。

性質
T1-空間であることは、以下の条件のいずれとも同値である。
X は T0 空間かつ R0 空間である。
空間 X の各点 x からなる一点集合 {x} が閉集合である。これは一点集合の補集合である X ∖ {x} が開集合であることを意味する。
空間 X の任意の有限部分集合が閉集合である。
空間 X の任意の補有限部分集合が開集合である。
空間 X の任意の部分集合の閉包が、その集合を含む全ての開集合の共通部分に一致する。
点 x における単項超フィルターが収束するのは x そのものに限られる。
点 x が集合 S の極限点であることと、x の任意の開近傍が S の点を無限に含むことが同値である。

R0-空間であることは、以下の条件のいずれとも同値である。
X の各点 x について、一点集合 {x} の閉包は x と位相的に識別不能な点のみからなる。
X 上の特殊化前順序が対称的である（したがって同値関係となる）。
点 x における単項超フィルターは x と位相的に識別不能な点にのみ収束する。
X のコルモゴロフ商は T1 空間である。
X の任意の開集合は閉集合の合併として書ける。

T0, R0, T1の関係
一般の位相空間において、「分離される」⇒「位相的に識別可能」⇒「相異なる」という含意が成り立つ。R0空間は「位相的に識別可能」ならば「分離される」が成り立ち、T0空間は「相異なる」ならば「位相的に識別可能」が成り立つ。したがって、空間がT1であることは、R0かつT0であることと同値である。

例
T0だがT1でない空間の簡単な例としては、シェルピンスキー空間や重複区間位相がある。
無限集合上の補有限位相空間はT1だがハウスドルフ空間（T2）ではない例として重要である。一点集合が閉となるためT1条件を満たすが、任意の二つの空でない開集合は共通部分を持つためハウスドルフではない。
代数閉体上の代数多様体に定義されるザリスキー位相も一点集合が閉であることからT1空間となるが、ハウスドルフではない。これは本質的に補有限位相の一種とみなせる。
任意の完全不連結空間は一点集合が閉集合となるためT1空間である。
有限集合上のT1空間は、任意の部分集合が閉となることから必ず離散空間となる。

関連概念
T1やR0は一様空間や収斂空間にも拡張される。これらの文脈では、極限の一意性として特徴付けられることが多い。一様空間やコーシー空間では常にR0条件が満たされるため、T1はT0と同値になるが、他の収斂空間ではR0単独でも意味を持つ場合がある。

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