平行

平行性：幾何学における重要な概念

幾何学において、平行性は図形間の位置関係を理解する上で基本的な概念です。特にユークリッド幾何学では、平行線は互いに交わらない直線の関係として定義されます。この概念は、平面上の直線だけでなく、三次元空間における直線と平面、平面同士の関係にも拡張されます。ただし、空間内の二直線が平行であるためには、それらが同一平面上にあることが必要です。そうでない場合は、ねじれの位置にあると言われます。

平行性の歴史

平行線の概念は古くから認識されていましたが、その厳密な定義と性質の解明は幾何学の発展と共に進みました。ユークリッドの『原論』では、平面上で交わらない直線を平行線と定義しています。しかし、古代ギリシアの数学者たちは、平行線公準の証明を試みる中で、等距離直線としての平行線の定義なども議論しました。ポセイドニオスやゲミノスといった数学者たちの貢献が知られています。

19世紀になると、射影幾何学や非ユークリッド幾何学の発展に伴い、平行線の概念の再検討が必要となりました。従来のユークリッド幾何学の教科書は、これらの新しい幾何学に対応する形で改訂されました。この過程で、平行線の定義や扱い方について様々な議論が巻き起こり、チャールズ・ドッジソン（ルイス・キャロル）などもこの議論に参加していました。ジェームズ・ウィルソン・モリスによる「方向」に基づいた平行線の定義も提案されましたが、ド・モルガンやドッジソンらから批判を受けました。これらの議論を通じて、平行線の定義はより厳密なものへと洗練されていきました。

ユークリッド平面幾何における平行性

ユークリッド平面上の平行線は、以下の性質で特徴付けられます。

1. 互いに一様等距離: 平行線上のどの点も、もう一方の直線からの距離が一定です。
2. 同一平面上にあるが交わらない: これは、平行線の最も基本的な定義です。
3. 同位角が合同: 平行線を横切る直線（横断線）によってできる同位角は合同です。

これらの性質は互いに同値であるため、いずれか一つを平行線の定義として採用できます。しかし、長さや角度の測定を必要とする最初の性質と三番目の性質よりも、第二の性質が最も簡潔で、一般的に平行性の定義として用いられています。また、直線の傾きを用いて平行性を定義することも可能です。

平行線の作図

上記の三つの性質に基づき、平行線を引く方法がそれぞれ存在します。例えば、与えられた直線に平行で、特定の点を通る直線を引くといった作図問題が考えられます。

平行線間の距離

ユークリッド平面上の平行線間の距離は一定です。直線の方程式を用いて、この距離を計算することができます。二つの平行線の式から、それらの距離を求める公式を導出できます。

ユークリッド空間幾何における平行性

三次元空間では、直線と直線、直線と平面、平面と平面の平行性が考えられます。

空間内の二直線: 空間内の二直線が平行であるのは、それらが同一平面上にある場合に限られます。そうでない場合は、ねじれの位置にあります。
直線と平面: 直線と平面が平行であるのは、それらが交わらない場合です。
* 二つの平面: 二つの平面が平行であるのは、それらが交わらない場合です。

これらの場合も、平行線間の距離は一定となります。

反射的な平行性

アフィン幾何学では、直線が自分自身と平行であると考えることが便利です。これは、平行関係を同値関係として扱うことを可能にします。

非ユークリッド幾何学における平行性

非ユークリッド幾何学（双曲幾何や楕円幾何など）では、ユークリッド幾何学とは異なる平行性の概念が成立します。測地線（二点間の最短距離）を用いて平行性を議論する必要があります。

双曲幾何

双曲幾何では、二つの測地線は、交わる、平行（無限遠点で交わる）、超平行（共通の無限遠点を持たない）の三つの関係を持ち得ます。

楕円幾何

楕円幾何（例えば球面幾何）では、どの二つの測地線も必ず交わります。そのため、平行な測地線は存在しません。

平行性の概念は、幾何学の基本的な概念であり、様々な幾何学体系において重要な役割を果たしています。ユークリッド幾何学におけるシンプルな定義から、非ユークリッド幾何学における複雑な関係まで、平行性は幾何学の奥深さを示す重要な要素です。

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