整数の定義と性質
整
数とは、1を含む自然
数 (1, 2, 3, 4, …)、その負
数 (−1, −2, −3, −4, …)、および0を合わせた
数の総称です。整
数全体の
集合は आमに \\mathbf{Z} または \\mathbb{Z} で表され、これはドイツ語の「Zahlen」から由来しています。
整数の拡張
自然
数だけでは出現する引き算の問題を解決できないため、「負の整
数」を導入することで整
数の概念が広がります。この追加により、任意の整
数に対して加法と乗法が可能になり、さらに引き算も自由に行えるようになります。
たとえば、$a + x = b$ という形の方程式では、整
数$a$と$b$に対して必ず一意の解$x$が存在します。自然
数$n$に対して、$-n$を導入し、これを「負の整
数」と呼びます。これにより、正の整
数、0、および負の整
数の間での演算が容易になり、実際の
数とその性質をより深く理解できるようになります。
歴史的背景
負の
数に関する最古の記述は、1世紀から
2世紀にかけて書かれた古代中国の『九章算術』でのもので、ここでは0や負の
数に対する加減算が扱われています。また、インドの
数学者のアリヤバータも、この時期に負
数に関する重要な法則を定めています。古代の
数学者たちは、負の
数を物理的な量や負債などの実世界の概念と関連付けて理解しようとしました。
整
数の概念がヨーロッパで再登場したのは遅く、特に16世紀以降に
数に関する規則が整備され、整
数の正負を明確に使った計算が進展しました。しかし、整
数が厳密に定義されるのは19世紀になってからで、
数学の基礎をより厳密に定義しようとする流れの中で、整
数は無限群としての性質も持つことが明らかになりました。
整数の性質
整
数は、加法に関して
アーベル群の性質を持ち、任意の整
数$n$は次のように表されます。
$$
n = egin{cases} ext{1をn回足す} & (n > 0) \\ 0 & (n = 0) \\ ext{−1を|n|回足す} & (n < 0) \\ ext{関
数の定義}
\\ \\
$$
このように、整
数は生成すると考えられる1の冪であり、整
数同士の加算や乗算はうまく定義されています。具体的には、整
数全体$Z$は単位的
可換環として、様々な
数の計算を支えます。この環にはゼロ因子が存在せず、
逆元を持つものとしては±1しか存在しないため、整
数は
整域と定義されます。
整数環の性質
整
数環$Z$はユークリッド
整域であり、整
数の最大公約
数が保証される構造を持っています。任意の整
数$a$と$b$に対し、余りのある除法を定義するならば、$a = qb + r$という形で表すことが可能です。
このような性質は、
算術の基本定理に結びついており、任意の整
数が素
数の積として一意に表現できることが示されています。これは
数論の根本的な事実であり、
数学的証明において重要な役割を担います。
整数の順序関係
整
数には通常の大小関係があり、それは全順序関係として成立します。この順序関係は次の性質を持ちます:
- - $a < b$ かつ $c < d$ ならば、$a + c < b + d$ が成り立ちます。
- - $a < b$ かつ $0 < c$ ならば、$ac < bc$ が成り立ちます。
このようにして、整
数は順序環ともなり、正の整
数と負の整
数とが明確に区別されることができます。これにより、整
数そのものが持つ算術的性質がさらに広がることになります。
自然数との関係
自然
数全体の
集合$N$は、負
数が含まれないが整
数全体の
集合$Z$を形成する上で基盤になります。自然
数の加法と乗法から、
同値関係を導入して整
数を厳密に構成する手法はいくつも存在します。これは任意の
数学的な体系において非常に重要な概念となっています。
整
数の理解を深めることは、
数学全般の理解にもつながります。整
数は計算の基礎であり、多くの
数学的概念の中核をなしています。