象限

象限（Orthant）

数学、特に幾何学の分野で用いられる「象限（しょうげん、英: orthant）」、あるいは高次元の場合には「超八分儀（hyperoctant）」という言葉は、ユークリッド空間を座標軸によって分割した領域の一つを指します。これは、私たちがお馴染みの平面における四分儀（quadrant）や、3次元空間における八分儀（octant）といった概念を、任意のn次元空間へと拡張したものです。

より一般的な定義としては、n次元ユークリッド空間 Rⁿ における象限は、互いに直交するn個の半空間の共通部分として考えられます。各半空間は、それぞれの座標軸に直交する超平面によって空間が二つに分けられたどちらか一方の領域です。例えば、x軸に関する半空間であれば、「x座標が非負である領域」または「x座標が非正である領域」のいずれかになります。

n次元空間にはn個の座標軸があり、それぞれの軸に対応する半空間には「非負」または「非正」の二つの選択肢があります。これらの選択肢を各軸に対して独立に組み合わせることで、全部で 2 × 2 × ... × 2 （n回）= 2ⁿ 通りの組み合わせが生まれます。この一つ一つの組み合わせが、n次元空間における一つの象限を定義します。

数学的に具体的に表現すると、Rⁿ 内の「閉象限（closed orthant）」は、各デカルト座標 x_i が次のような不等式を満たす点の集合として定義されます。

ε₁x₁ ≥ 0
ε₂x₂ ≥ 0
...
ε_nx_n ≥ 0

ここで、各 ε_i は独立に +1 または −1 の値をとります。例えば、すべての ε_i が +1 であれば、その象限はすべての座標が非負である領域、つまり「非負象限」となります。

同様に、「開象限（open orthant）」は、各座標が厳密な不等式を満たす点の集合として定義されます。

ε₁x₁ > 0
ε₂x₂ > 0
...
ε_nx_n > 0

こちらの定義では、座標軸上の点や座標平面上の点は含まれません。

次元によって、象限は異なる名前で呼ばれることがあります。

一次元（直線）においては、原点を境に二つの「半直線」が存在し、これが1次元の象限です。
二次元（平面）においては、x軸とy軸によって空間が四つの領域に分割され、これらが「四分儀」または「象限」と呼ばれます。
* 三次元（空間）においては、x軸、y軸、z軸によって空間が八つの領域に分割され、これらが「八分儀」と呼ばれます。

一般のn次元では、これらを総称して「象限」または「超八分儀」と呼びます。

象限の概念は、高次元の様々な図形を理解する上で基礎となります。例えば、著名な数学者ジョン・ホートン・コンウェイは、n-正軸体（orthoplex）というn次元の正多胞体を定義する際に、各象限に一つずつ、合計 2ⁿ 個の単体ファセット（面）を持つ図形として特徴づけました。また、象限は、超立方体（hypercube）や超直方体（hyperrectangle）といった他の高次元図形とも関連が深く、これらの図形が特定の象限内に含まれたり、象限を構成要素として持ったりすることがあります。

象限は、高次元空間の構造を座標に基づいて分割・分析するための基本的な枠組みを提供しており、様々な数学分野で利用されています。

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