超立方体

超立方体（ちょうりっぽうたい）

超立方体とは、数学や幾何学において、高次元空間における図形の一つであり、特に2次元の正方形や3次元の立方体といったおなじみの図形を、任意の次元へと拡張した正多胞体（または正図形）を指します。

最も単純な例としては、0次元の超立方体は一点であり、1次元の超立方体は線分です。これらは、それぞれ正方形（2次元）や立方体（3次元）を低次元に見たものとも言えます。一般に、n次元の超立方体は、n次元ユークリッド空間内で定義される特定の図形です。この図形は、正測体（せいそくたい）やγ体（ガンマたい）とも呼ばれ、しばしば記号 $\gamma_n$ で表されます。

高次元においては、正多胞体の種類は限られており、5次元以上では、超立方体、正単体（正n単体）、正軸体（正n軸体）の3種類のみが存在します。このことからも、超立方体が多次元幾何学における基本的な図形の一つであることがわかります。

単に「超立方体」と言う場合、特に4次元の超立方体（テッセラクト）を指すことがあります。4次元以上の図形を私たちの3次元空間や2次元平面で視覚化することは困難ですが、投影図によってその構造の一部を捉える試みがなされます。例えば、4次元超立方体を2次元平面に投影した図では、実際の辺の長さや角の角度は歪んで見えますが、本来は全ての辺の長さは等しく、全ての角は直角です。この4次元超立方体は、8つの立方体（3次元の面、これを「胞」と呼びます）で囲まれています。

作図・定義

n次元超立方体は、数学的にいくつかの方法で定義することができます。一つは、n次元ユークリッド空間 $\mathbb{R}^n$ において、座標が $(\pm 1, \pm 1, \dots, \pm 1)$ である $2^n$ 個の点を頂点とし、互いに最も近い（距離が2である）頂点同士を辺で結んだ図形として定義する方法です。全ての符号の組み合わせが頂点となります。

また、連続的な領域としては、n次元空間内の点 $(x_1, x_2, \dots, x_n)$ の集合で、各座標 $x_i$ が $-1 \le x_i \le 1$ の範囲を満たすものとして定義することもできます。

$$ \{(x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n \mid -1 \le x_i \le 1 \text{ for all } i=1, \dots, n \} $$

性質

一般に、辺の長さが $a$ のn次元超立方体は、以下のような性質を持ちます。

超体積: n次元の「体積」は $a^n$ です。
超表面積: n次元の「表面積」は $2na^{n-1}$ です。
面の構造: n次元超立方体の $m$ 次元面（$0 \le m \le n-1$）は、すべて $m$ 次元超立方体になります。例えば、4次元超立方体の2次元面は正方形であり、3次元面（胞）は立方体です。
対角線の長さ: 図形の中心から最も遠い頂点までの距離の2倍、またはある頂点から最も遠い頂点までの距離は、辺の長さ $a$ に対して $a\sqrt{n}$ となります。
面の数: $m$ 次元面の総数は、以下の式で与えられます。

$$ 2^{n-m} \binom{n}{m} $$
ここで $\binom{n}{m}$ は二項係数です。これは、パスカルの三角形（またはその高次元版であるパスカルのピラミッド）における特定の数と関連があります。
特に重要な面の数を挙げると：
頂点（0次元面）の数: $2^n$
辺（1次元面）の数: $n \cdot 2^{n-1}$
ファセット（n-1次元面、つまり境界）の数: $2n$

面の関係性: 超立方体において、異なる次元の面同士や同じ次元の面同士の関係には規則性があります。接している二つの面は互いに直交します。そうでない場合は、直角（ねじれの位置関係）または平行になります。特に、隣り合うファセット（境界となる高次元の面）は直交し、向かい合うファセットは平行です。また、各頂点には $n$ 本の辺が集まっていますが、これらの辺は互いに直交しています。
双対: n次元超立方体の双対多胞体は、n次元正軸体（クロス多胞体）です。

超立方体は、単に抽象的な数学的概念であるだけでなく、コンピュータサイエンスや物理学など、様々な分野で応用される重要な概念です。

関連する概念として、多胞体全般や、面の数を計算する際に用いられる組合せ論などが挙げられます。

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