せん断写像

「せん断写像」（せん断変換、単にせん断とも呼ばれる）は、幾何学や線型代数で用いられる基本的な線型写像です。これは、空間内の各点を、ある特定の基準となる直線や平面（あるいは高次元空間における超平面）からの符号付き距離に比例した量だけ、その基準と平行な方向に移動させる変換です。

平面におけるせん断

最も身近な二次元平面を例にとって考えてみましょう。ここでは、基準となるのは直線です。例えば、座標 `(x, y)` で表される点を `(x + my, y)` へと移す変換は、水平方向のせん断写像です。ここで `m` は「せん断因子」と呼ばれる定数です。

この水平せん断では、点のx座標はy座標に比例して変化しますが、y座標は変わりません。具体的には、y座標が正の点では、せん断因子 `m` が正ならば右へ、負ならば左へ移動します。y座標が負の点では、移動方向はこれと逆になります。y座標がゼロであるx軸上の点は、全く移動しません。これは、x軸がこのせん断写像における「基準となる直線」であり、変換によって動かない線であるためです。

同様に、点 `(x, y)` を `(x, mx + y)` へと移す変換は、鉛直方向のせん断写像です。ここではx座標が不変で、y座標がx座標に比例して変化します。この場合、基準となる直線はy軸です。

これらの平面せん断は、行列の乗算によって簡単に表現できます。水平せん断は、1行目が `(1, m)`、2行目が `(0, 1)` となる2行2列の行列を、元の点の座標を表す列ベクトルに左からかけることで実行されます。鉛直せん断は、1行目が `(1, 0)`、2行目が `(m, 1)` となる行列による乗算で表現されます。

水平せん断の場合、x軸に平行な直線は変換後もx軸に平行なままですが、それ以外の直線はx軸上の交点を中心に傾きが変わります。特に、鉛直線は傾き `1/m` の斜線になります。鉛直せん断では、y軸に平行な直線が不変で、それ以外の直線はy軸上の交点を中心に傾きが変わります。

幾何学的な性質と不変量

せん断写像を平面上の図形に施すと、一般的にその形は大きく変わります。平角（180度）を除く角度は変化し、移動方向と平行な線分以外の長さも変わります。例えば、正方形は正方形でない平行四辺形に、円は楕円に変換されます。これは、回転写像のように図形を固く動かす変換ではないためです。

しかし、せん断写像には重要な不変量があります。最も顕著なのは「面積」です。平面上の任意の図形にせん断写像を施しても、その面積は全く変化しません。この性質は、対応する行列の行列式が常に1であることからも確認できます。

また、せん断写像は、同一直線上の点どうしの並び順や、それらの点間の相対的な距離も保ちます。つまり、点が一直線上に並んでいるならば、変換後も一直線上に並んでおり、例えば線分の中点は変換後も対応する線分の中点となります。

高次元空間への拡張と応用

せん断写像の概念は、三次元空間やさらに一般的なn次元ユークリッド空間にも容易に拡張できます。三次元では、基準となるのは直線ではなく「定平面」となり、各点はその平面からの距離に比例して、平面と平行な方向に移動します。三次元のせん断写像は、平面の場合と同様に図形を歪ませますが、「体積」は保存するという性質を持ちます。

このような変換は、物理学、特に流体力学や材料力学において重要です。例えば、流体が層状に流れる「クエット流れ」における流体粒子の移動や、物体が外力によってずれる「せん断変形」を数学的に記述する際にせん断写像が現れます。実際、「せん断写像」という名称も、こうした物理現象における「せん断応力」や「せん断ひずみ」との関連に由来しています。

さらに一般のn次元空間では、基準は「定超平面」となり、写像は空間内の任意の集合のn次元測度（超体積）を保存する線形変換となります。

具体的な応用例

せん断写像が面積や体積を保存するという性質は、様々な数学的・計算機的な応用につながっています。例えば、幾何学においては、直線で囲まれた任意の図形を面積を変えずに三角形に変換したり、任意の三角形を面積を変えずに直角三角形に変換したりできることを示すために利用されます。これにより、三角形の面積公式「底辺 × 高さ ÷ 2」の理解を深める助けとなります。

計算機グラフィックスの分野でも、せん断写像は重要な役割を果たします。デジタル画像を任意の角度だけ回転させる場合、直接計算するよりも、画像を水平、鉛直、水平の3回の連続したせん断写像によって変換するアルゴリズムが知られています。この方法は実装が比較的容易で、処理効率が良いことから広く利用されています。

このように、せん断写像は、単純な幾何学的操作でありながら、図形の変形と測度の保存という対照的な性質を併せ持ち、理論的な考察から物理現象のモデリング、実用的な画像処理に至るまで、幅広い分野で利用されています。

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