アインシュタイン模型

アインシュタイン模型は、アルベルト・アインシュタインが固体の持つ熱容量、特に比熱の温度依存性を理論的に記述するために提唱した物理モデルです。結晶構造を持つ固体において、原子がその平衡位置の周りで振動する「格子振動」に着目し、この振動が熱エネルギーの伝達に関わる主要な要素であると考えました。

この模型の基本的な考え方は、結晶を構成するN個の原子による格子振動全体を、互いに独立して振動する合計3N個の量子力学的な調和振動子の集まりと見なすことにあります。さらに、この模型では、これらすべての振動子が、共通の特定の角振動数（ωE）を持つと仮定しました。この単純化されたモデルを用いて、固体の内部エネルギーや比熱を計算しようと試みたのです。

歴史的背景

アインシュタインがこの模型を発表した1900年代初頭、固体の比熱に関する理解は古典力学の枠内にとどまっていました。高温においては、デュロン-プティの法則として知られる経験則がよく成り立ち、固体のモル比熱が温度に依らずほぼ一定の値（約3R、ここでRは気体定数）を示すことが知られていました。しかし、低温における実験結果は、この法則から大きく外れるものでした。特に、絶対零度に向かうにつれて固体の熱容量はゼロに近づくことが観測されており、古典的な理論ではこれを説明できませんでした。

アインシュタインは1906年および1910年に発表した論文の中で、この低温での比熱の振る舞いを説明するために、マックス・プランクが提唱した量子仮説を取り入れました。彼は、格子振動のエネルギーが連続的ではなく、特定の単位（量子）の離散的な値しか取り得ないと仮定しました。これにより、エネルギーの低い格子振動は、低温では熱エネルギーが小さいために励起されにくくなり、結果として系の内部エネルギーや比熱が温度とともに低下することを理論的に示すことに成功したのです。

アインシュタイン模型によるこの比熱の温度依存性の説明は、光電効果に関するアインシュタインの研究と並んで、エネルギーの量子化という概念が物理現象を理解する上で不可欠であることを示す、初期の極めて重要な証拠の一つとなりました。

模型の詳細と比熱の計算

アインシュタイン模型では、3N個の独立な調和振動子がすべて等しい角振動数ωEを持つと仮定するため、系の内部エネルギーや比熱を統計力学的に計算することができます。量子力学によれば、振動数ωを持つ調和振動子のエネルギー準位は離散的です。アインシュタインは、プランクの分布関数（またはボーズ・アインシュタイン分布の特殊な場合）を用いて、各振動子のエネルギーの平均値を求め、それを合計することで固体の内部エネルギーUを導きました。そして、この内部エネルギーを温度Tで微分することにより、定積比熱CVを得ました。

計算の結果得られるアインシュタイン模型に基づく比熱の式は、以下の形で表されます（Nは原子数、kBはボルツマン定数）。

CV = 3 N kB (θE/T)^2 * (e^(θE/T)) / (e^(θE/T) - 1)^2

ここで、`θE = ħωE / kB` はアインシュタイン温度と呼ばれる特性温度です。これは、模型で仮定した共通の振動数ωEに対応するエネルギーを温度の単位で表したものです。このアインシュタイン温度は、物質固有の値となります。

実験結果との比較と限界

アインシュタイン模型の比熱式は、実験で観測される固体の比熱の振る舞いをいくつかの点でうまく捉えていました。

- 高温領域: 温度Tがアインシュタイン温度θEよりも十分に高い場合 (`T >> θE`)、アインシュタインの比熱式は `CV ≈ 3Nk_B` となり、これはデュロン-プティの法則が予測する古典的な値と一致します。
- 低温領域: 温度Tがアインシュタイン温度θEよりも十分に低い場合 (`T << θE`)、比熱は温度の低下とともに指数関数的にゼロに近づきます。これは、低温で比熱がゼロになるという実験事実を初めて理論的に説明できた大きな成果でした。

しかし、アインシュタイン模型は低温領域において、実験結果と定量的な乖離が見られました。実際の固体の比熱は、絶対零度近傍で温度の3乗 (`T^3`) に比例してゼロに近づくことが実験的に知られています（これは後にデバイのT³乗則として定式化されます）。アインシュタイン模型が低温で指数関数的な振る舞いを示すのに対し、実験ではより緩やかな（しかし古典論よりははるかに急峻な）温度依存性を示すのです。

この乖離の主な原因は、アインシュタイン模型が全ての格子振動が同じ振動数を持つと仮定したことにあります。実際の結晶中では、格子振動はその波数（波長）によって様々な振動数を持ちます。特に、波長の長い（すなわち波数の小さい）振動モードは、エネルギーが低く、低温でも比較的励起されやすいため、低温での比熱に大きく寄与します。アインシュタイン模型はこの低エネルギー・低振動数のモードを適切に考慮していなかったため、低温での正確な振る舞いを再現できませんでした。

このアインシュタイン模型の限界を克服し、低温でのT³乗則を説明することに成功したのが、1912年にピーター・デバイによって提唱されたデバイ模型です。デバイ模型は、格子振動の振動数分布をより現実的に扱ったモデルであり、固体比熱の理論の発展において重要な役割を果たしました。それでもなお、アインシュタイン模型は、量子仮説を用いて初めて固体の比熱の温度依存性を、特に低温での低下傾向を説明した画期的な理論として、物理学史において極めて重要な位置を占めています。

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