格子振動

格子振動：結晶を揺らす小さな振動

結晶内部の原子は、完全に静止しているわけではなく、それぞれの平衡位置（格子点）を中心に微小な振動を繰り返しています。この現象を格子振動と呼びます。固体の熱エネルギーの一部は、この格子振動のエネルギーとして蓄えられています。温度が高いほど、原子の振動は激しく、振動の振幅が大きくなります。

格子振動は、物質の様々な物性に深く関わっています。例えば、熱伝導や比熱に影響を与え、特に低温における比熱の温度依存性（デバイ比熱）を説明する上で重要な役割を果たします。また、電子と格子振動の相互作用は電気伝導に影響を与え、従来型の超伝導現象（BCS理論）にも深く関わっています。格子振動の量子としてのフォノンも、物質の性質を理解する上で重要な概念です。

格子振動の理論的発展：比熱の謎から

格子振動の研究は、固体の比熱の温度依存性を説明する試みから始まりました。アインシュタインは1911年、結晶中の原子が独立に一定の振動数で振動するシンプルなモデル（アインシュタイン模型）を提案し、高温での古典的な比熱と低温での比熱の急激な減少を説明しました。しかし、このモデルは格子振動の相互作用を考慮しておらず、精度に限界がありました。

その後、ボルンとフォン・カルマン（1912年）、そしてデバイ（1912年）は、より現実的なモデルを提案しました。ボルンとフォン・カルマンは、原子が周期的に配列した格子構造を考慮した格子模型を提案し、1913年のX線回折による結晶構造の解明によってその妥当性が確認されました。デバイ模型は、結晶を連続弾性体と近似することで、計算の簡略化を図り、低温での比熱のT³則や高温でのデュロン・プティの法則をうまく説明しました。

しかし、デバイ模型は近似モデルであったため、1930年代にはその限界が明らかになり、Blackmanらによって、より精密な計算が行われました。これら一連の研究によって、格子振動が固体の比熱を決定する上で重要な役割を果たしていることが確立されました。

格子振動とX線散乱

原子の熱振動は、X線回折にも影響を与えます。デバイやワラーは、格子振動によってブラッグ反射の強度が減少するだけでなく、ブラッグの法則では説明できない熱散漫散乱が生じることを明らかにしました。この現象は、1938年にLavalによって実験的に確認され、ボルン・フォン・カルマン理論によって説明されました。

格子振動と熱伝導・電気伝導

格子振動は熱伝導にも重要な役割を果たします。熱伝導率は、格子波と結晶の境界、不純物、格子欠陥との相互作用、そして格子波間の相互作用によって決まります。パイエルス(1929年)は、これらの相互作用を考慮した熱伝導理論を構築しました。また、パイエルスは格子振動による電子散乱が電気抵抗に寄与することを示しました。

調和近似と非調和性

格子振動の理論では、原子間の相互作用ポテンシャルを平衡位置からのずれでテイラー展開します。2次の項のみを考慮する近似を調和近似といい、それ以上の高次の項を考慮すると非調和性となります。調和近似では、格子波は相互作用せず、減衰もせず、熱膨張も起こりません。しかし、実際には非調和性が重要であり、熱膨張や格子波の減衰、モード間の相互作用を引き起こします。

基準振動と1次元格子モデル

微小振動の場合、格子振動は独立した調和振動子の重ね合わせとして表現できます。これを基準振動（固有振動）と呼びます。複雑な3次元格子を扱う前に、理解を深めるため、単純な1次元格子モデル（線形鎖）が用いられます。このモデルでも、フォノンの重要な性質を理解することができます。

このモデルでは、原子間に線形的な力（弾性ばね）が作用すると仮定し、運動方程式を立てます。この方程式は結合方程式であり、離散フーリエ変換を用いて解くことができます。解は、様々な波数kを持つ独立な振動モード（基準モード）の重ね合わせとして表現されます。それぞれのモードの振動数ωkは、波数kの関数であり、これを分散関係と呼びます。

音響モードと光学モード、縦波モードと横波モード

結晶の振動モードは、音響モードと光学モードに分類できます。音響モードでは単位胞内の原子が同位相で振動し、波数ゼロの極限で振動数はゼロになります。長波長の音響モードは、弾性波として理解できます。一方、光学モードでは単位胞内の原子が逆位相で振動し、波数ゼロの極限でも有限の振動数を持つのが特徴です。光学モードは赤外吸収やラマン散乱で観測できます。

さらに、振動モードは、縦波モード（疎密波）と横波モードに分類できます。縦波モードは体積変化を伴いますが、横波モードは体積変化を伴いません。

格子振動は、一見単純な現象ですが、その背後には深遠な物理学が隠されています。この現象の理解は、様々な物質の性質を解明する上で不可欠です。

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