アフィン部分空間
アフィン部分空間の概要
アフィン部分空間は、線型代数学の重要な概念であり、あるベクトル空間の線型部分空間を平行移動することで得られる部分集合を指します。これは、主に解析幾何学において意味を持ち、アフィン空間として自身を成すことになります。
定義
具体的には、ベクトル空間 $V$ の部分集合 $A$ がアフィン部分空間であるためには、$V$ のベクトル $v$ と、$V$ の線型部分空間 $U_A$ が存在し、次の関係が成り立つ必要があります。
$$A = v + U_A = \{ v + u \mid u \in U_A \}$$
ここで、$v$ は $A$ の位置ベクトルと呼ばれ、$U_A$ は $A$ に付随する線型部分空間です。$A$ に対する $U_A$ は一意的に決まりますが、$v - w \in U_A$ を満たすような $w \in V$ は全て $A$ の位置ベクトルと見なされます。また、$A$ の次元は $U_A$ の次元として定義されます。
一次元のアフィン部分空間は直線として、二次元のアフィン部分空間は平面として知られています。また、$V$ が $n$ 次元の場合、次元が $n-1$ のアフィン部分空間はアフィン超平面と呼ばれます。解析幾何学では、空集合もアフィン部分空間の一つとすることがあります。この場合、アフィン部分空間としての次元は $\text{dim} \emptyset = -1$ であり、線型部分空間を持たないとされます。
簡単な例
三次元ベクトル空間 $\mathbb{R}^3$ 内の部分空間 $U$ を次のように定義します。
$$g: \vec{x} = \lambda (0, 0, 1) \quad (\lambda \in \mathbb{R})$$
これは原点を通る直線です。そして、具体的なベクトル $\vec{v} = (1, 0, 0)$ を選ぶと、アフィン部分空間 $A = \vec{v} + U$ は、原点から $x$ 軸方向に単位移動した直線を表し、次のように表記できます。
$$h: \vec{x} = (1, 0, 0) + \mu (0, 0, 1) \quad (\mu \in \mathbb{R})$$
この直線は原点を通らないものの、アフィン部分空間として認められますが、線型部分空間ではありません（零ベクトルを含まないからです）。
アフィン部分空間の次元公式
アフィン部分空間 $A$ と $B$ の次元に関して、次のような公式が成り立ちます。
- - $A$ と $B$ が交わる場合、またはどちらか一方が空であるときは、
- - $A$ と $B$ がいずれも空でなく、交わりも持たない場合は、
ここで、$U_A$ と $U_B$ はそれぞれのアフィン部分空間に関連する線型部分空間です。また、$A \vee B$ は $A$ と $B$ のアフィン和空間を示します。
性質
アフィン部分空間の定義が $v = 0$ の場合を含むことから、任意の線型部分空間はアフィン部分空間でもあります。なお、アフィン部分空間が線型部分空間であるためには、その集合が零ベクトルを含む必要があります。非斉次の線型方程式系の解空間が空でない場合、それは $K^n$ のアフィン部分空間を形成します。任意のアフィン部分空間は、適切な線型方程式の系から生まれることが可能です。
また、アフィン部分空間は位置ベクトルとそれに付随する線型部分空間の基底から構成されるベクトル集合としても定義されます。
関連項目
参考文献
- - ゲルト・フィッシャー: Lineare Algebra. ISBN 3-528-03217-0, S. 166ff (Auszug (Google), p. 116, - Google ブックス).
- - ジークフリート・ボッシュ: Lineare Algebra. ISBN 978-3-540-76437-3, S. 65ff
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