イフ合同心

イフ合同心

イフ合同心（英: Yff center of congruence）は、幾何学において三角形の中心の一つとして知られています。この点は、数学者ピーター・イフによって1987年に、三角形の中心に関する広範な研究の中で発見されました。

イフ合同心を理解するためには、まず「二等辺化線」という概念を把握する必要があります。二等辺化線（英: isoscelizer）もまた、ピーター・イフが1963年に導入した独自の概念です。三角形ABCの一つの頂点、例えばAに着目します。辺AB上に点P₁、辺AC上に点Q₁をとるとき、三角形AP₁Q₁が頂点Aに対する二等辺三角形となるような直線P₁Q₁のことを、Aの二等辺化線と呼びます。この直線は、頂点Aにおける内角の二等分線に対して常に垂直となる性質を持ちます。

次に、「Yff central triangle」と呼ばれる特別な三角形が登場します。元の三角形ABCに対して、各頂点A, B, Cに対応する二等辺化線をそれぞれP₁Q₁, P₂Q₂, P₃Q₃とします。これらの三本の二等辺化線が交わってできる三角形を△A'B'C'と呼びます。さらに、これらの二等辺化線と元の三角形の辺によって囲まれる四つの三角形、すなわち△A'P₂Q₃, △Q₁B'P₃, △P₁Q₂C', そして△A'B'C'自身が全て相似であるとき、△A'B'C'をYff central triangleと定義します。Yff central triangleの外接円はYff central circleと呼ばれます。

イフ合同心は、このYff central triangleを構成する二等辺化線を用いて定義されます。三角形ABCに対し、前述のようにYff central triangle △A'B'C'を構成する二等辺化線P₁Q₁, P₂Q₂, P₃Q₃を選択します。このとき、内部に形成される四つの三角形（△A'P₂Q₃, △Q₁B'P₃, △P₁Q₂C', △A'B'C'）が互いに合同となるように、これらの二等辺化線を元の三角形の形状を保ちながら平行に移動させる操作を考えます。この平行移動を続けると、特別な状況下でYff central triangle △A'B'C'が一点に縮退する場合があります。この、二等辺化線を合同性を保って平行移動させた際の収束点こそが、元の三角形ABCのイフ合同心なのです。

性質

イフ合同心は、三角形の中心のオンライン百科事典であるEncyclopedia of Triangle Centersにおいて、X(174)として登録されています。その三線座標は以下の簡潔な式で与えられます。

`sec(A/2) : sec(B/2) : sec(C/2)`

ここで、A, B, Cは元の三角形ABCの各頂点の角度です。

イフ合同心には他にもいくつかの興味深い性質があります。

元の三角形ABCの各辺は、対応するYff central triangleの傍接円に対する共通の外部接線となります。
三角形ABCの内心をIとします。辺BC上に点Dを、∠BID = ∠DICとなるように定めます。同様に、辺CA上、AB上にも同様の条件を満たす点E, Fを定めます。このとき、線分AD, BE, CFは一点で交わります。この交点がイフ合同心である、という性質が知られています。
イフ合同心は、基準三角形ABCに対する接触三角形の外接線三角形の相似中心でもあります。
コンピュータによる計算や作図の補助により、イフ合同心のさらなる性質や他の中心との関係が研究されています。

一般化

イフ合同心は、ある種の点の構成法を一般化した枠組みの中に位置づけられます。三角形ABCと平面上の任意の点Pを考えます。各辺BC, CA, AB上にそれぞれ点D, E, Fを、特定の角度条件、すなわち∠BPD = ∠DPC, ∠CPE = ∠EPA, ∠APF = ∠FPB を満たすように取ります。驚くべきことに、このように定義された線分AD, BE, CFは常に一点で交わります（共点性）。

この交点は、点Pの位置によって一意に定まります。点Pの三線座標をp:q:rとしたとき、この一般化された交点の三線座標は、以下の式で与えられます。

`1/sqrt(q^2 + r^2 + 2qrcos(A)) : 1/sqrt(r^2 + p^2 + 2rpcos(B)) : 1/sqrt(p^2 + q^2 + 2pqcos(C))`

さらに興味深いことに、点Pと、その点Pを三角形ABCの外接円で反転させた点が、この一般化された構成法によって得られる同じ交点を与えることが知られています。

関連

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