ガロアの逆問題
ガロアの逆問題とは、数学、特に代数学の一分野であるガロア理論の中心的な問題の一つです。この問題は、任意の有限群 G が、有理数体 $\mathbb{Q}$ 上の何らかのガロア拡大体のガロア群として現れるかどうかを問うものです。19世紀初頭にその存在が示唆されて以来、長きにわたり数学者たちの探求の対象となってきました。より一般的には、任意の体 K と有限群 G に対し、そのガロア群が G と同型であるような K のガロア拡大体 L は存在するか、という形で定式化されます。もしそのような拡大体 L が存在する場合、群 G は体 K 上「実現可能」であると言われます。
この難問に対して、全体的な解決には至っていませんが、特定の体や特定の種類の群については多くの重要な成果が得られています。例えば、複素数体 $\mathbb{C}$ 上の1変数代数関数体や、標数零の代数的閉体上の1変数代数関数体といった特定の体上では、任意の有限群がガロア群として実現できることが知られています。有理数体 $\mathbb{Q}$ 上においても、多くの種類の群が実現可能であることが証明されています。著名な例としては、数学者のイゴール・シャハレビッチによって、全ての有限可解群が $\mathbb{Q}$ 上実現可能であることが示されました。また、マシュー群 M23 を除くほとんど全ての散在型単純群も $\mathbb{Q}$ 上で実現できることが分かっています。
ガロアの逆問題の研究において、ドイツの数学者ダフィット・ヒルベルトは画期的な貢献をしました。彼は、この問題が群 G に関する有理性の問題と深く関連していることを明らかにしました。具体的には、$\mathbb{Q}$ の拡大体 K に対して、G が K の自己同型群として作用し、かつその不変体 KG が $\mathbb{Q}$ の純粋超越拡大体（$\mathbb{Q}$ 上代数的に独立な要素によって生成される体）であるならば、G は $\mathbb{Q}$ 上実現可能であることを示しました。この「ヒルベルトの判定法」を用いることで、例えば全ての対称群 $S_n$ が $\mathbb{Q}$ 上実現可能であることが証明されました。
ヒルベルトのアプローチの一つは、射影直線のガロア被覆という幾何学的な視点に基づいています。これは代数的には、不定元 t を含む有理関数体 $\mathbb{Q}(t)$ の拡大体をまず構成し、その後「ヒルベルトの既約性定理」を用いて、そのガロア群を保ったまま t を有理数に特殊化する方法に対応します。この方法により、特定の多項式のガロア群が対称群 $S_n$ や交代群 $A_n$ となるような例を具体的に構成することが可能になりました。現在では、次数が16以下の全ての置換群や、PSL(2,25)よりも位数の小さい全ての非可換単純群13個が $\mathbb{Q}$ 上実現可能であることが知られています。
最も単純な例の一つとして、任意の正の整数 n に対する巡回群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ が $\mathbb{Q}$ 上実現可能であることは古典的な手法で示せます。これは、ディリクレの定理により存在する、n を法として1に合同な素数 p を選び、1の原始 p 乗根 $\mu$ を $\mathbb{Q}$ に添加して得られる円分拡大体 $\mathbb{Q}(\mu)$ のガロア群が位数 $p-1$ の巡回群となる性質を利用します。ガロア理論の基本定理によれば、このガロア群の位数 $(p-1)/n$ の部分群に対応する固定体が、$\mathbb{Q}$ 上のガロア群として $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ を持ちます。より具体的に、位数3の巡回群 $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ の場合は、多項式 $x^3 + x^2 - 2x - 1$ の $\mathbb{Q}$ 上のガロア群として実現されることが知られています。同様の方法は、任意の有限アーベル群に対しても応用できます。
ヒルベルトの方法以外にも、様々な群を実現するための手法が開発されています。「剛的（rigid）な群」の概念もその一つです。これは群の特定の性質を指し、このような性質を持つ有限群は、有理数体の円分拡大体上のガロア群として実現できる場合が多いことが示されています（ジョン・トンプソンの結果など）。この手法は、巨大なモンスター群を含む多くの有限単純群が $\mathbb{Q}$ 上実現可能であることを示すのに役立ちました。
また、楕円モジュラー関数を用いた構成法もあります。これは複素平面上の格子と関連し、特定の多項式のガロア群が PGL(2, $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$) と同型になることを利用します。ヒルベルトの既約性定理を適用することで、これらの群も $\mathbb{Q}$ 上実現可能であることが示されています。この群の族には、無限に多くの非可解群が含まれています。
ガロアの逆問題は、これらの多くの部分的な成果にもかかわらず、一般的に「全ての有限群が有理数体 $\mathbb{Q}$ 上実現可能であるか」という問いに対しては未だ解決されていません。現代の数論や代数幾何学における活発な研究分野の一つとして、その解決が目指されています。
これまでの成果の概要
この難問に対して、全体的な解決には至っていませんが、特定の体や特定の種類の群については多くの重要な成果が得られています。例えば、複素数体 $\mathbb{C}$ 上の1変数代数関数体や、標数零の代数的閉体上の1変数代数関数体といった特定の体上では、任意の有限群がガロア群として実現できることが知られています。有理数体 $\mathbb{Q}$ 上においても、多くの種類の群が実現可能であることが証明されています。著名な例としては、数学者のイゴール・シャハレビッチによって、全ての有限可解群が $\mathbb{Q}$ 上実現可能であることが示されました。また、マシュー群 M23 を除くほとんど全ての散在型単純群も $\mathbb{Q}$ 上で実現できることが分かっています。
ヒルベルトの貢献
ガロアの逆問題の研究において、ドイツの数学者ダフィット・ヒルベルトは画期的な貢献をしました。彼は、この問題が群 G に関する有理性の問題と深く関連していることを明らかにしました。具体的には、$\mathbb{Q}$ の拡大体 K に対して、G が K の自己同型群として作用し、かつその不変体 KG が $\mathbb{Q}$ の純粋超越拡大体（$\mathbb{Q}$ 上代数的に独立な要素によって生成される体）であるならば、G は $\mathbb{Q}$ 上実現可能であることを示しました。この「ヒルベルトの判定法」を用いることで、例えば全ての対称群 $S_n$ が $\mathbb{Q}$ 上実現可能であることが証明されました。
ヒルベルトのアプローチの一つは、射影直線のガロア被覆という幾何学的な視点に基づいています。これは代数的には、不定元 t を含む有理関数体 $\mathbb{Q}(t)$ の拡大体をまず構成し、その後「ヒルベルトの既約性定理」を用いて、そのガロア群を保ったまま t を有理数に特殊化する方法に対応します。この方法により、特定の多項式のガロア群が対称群 $S_n$ や交代群 $A_n$ となるような例を具体的に構成することが可能になりました。現在では、次数が16以下の全ての置換群や、PSL(2,25)よりも位数の小さい全ての非可換単純群13個が $\mathbb{Q}$ 上実現可能であることが知られています。
具体的な構成例
最も単純な例の一つとして、任意の正の整数 n に対する巡回群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ が $\mathbb{Q}$ 上実現可能であることは古典的な手法で示せます。これは、ディリクレの定理により存在する、n を法として1に合同な素数 p を選び、1の原始 p 乗根 $\mu$ を $\mathbb{Q}$ に添加して得られる円分拡大体 $\mathbb{Q}(\mu)$ のガロア群が位数 $p-1$ の巡回群となる性質を利用します。ガロア理論の基本定理によれば、このガロア群の位数 $(p-1)/n$ の部分群に対応する固定体が、$\mathbb{Q}$ 上のガロア群として $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ を持ちます。より具体的に、位数3の巡回群 $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ の場合は、多項式 $x^3 + x^2 - 2x - 1$ の $\mathbb{Q}$ 上のガロア群として実現されることが知られています。同様の方法は、任意の有限アーベル群に対しても応用できます。
その他の構成手法
ヒルベルトの方法以外にも、様々な群を実現するための手法が開発されています。「剛的（rigid）な群」の概念もその一つです。これは群の特定の性質を指し、このような性質を持つ有限群は、有理数体の円分拡大体上のガロア群として実現できる場合が多いことが示されています（ジョン・トンプソンの結果など）。この手法は、巨大なモンスター群を含む多くの有限単純群が $\mathbb{Q}$ 上実現可能であることを示すのに役立ちました。
また、楕円モジュラー関数を用いた構成法もあります。これは複素平面上の格子と関連し、特定の多項式のガロア群が PGL(2, $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$) と同型になることを利用します。ヒルベルトの既約性定理を適用することで、これらの群も $\mathbb{Q}$ 上実現可能であることが示されています。この群の族には、無限に多くの非可解群が含まれています。
現在の状況
ガロアの逆問題は、これらの多くの部分的な成果にもかかわらず、一般的に「全ての有限群が有理数体 $\mathbb{Q}$ 上実現可能であるか」という問いに対しては未だ解決されていません。現代の数論や代数幾何学における活発な研究分野の一つとして、その解決が目指されています。
もう一度検索
【記事の利用について】
タイトルと記事文章は、記事のあるページにリンクを張っていただければ、無料で利用できます。
※画像は、利用できませんのでご注意ください。
【リンクついて】
リンクフリーです。