キュレネのテオドロス

キュレネのテオドロス

キュレネのテオドロス（ギリシア語: Θεόδωρος ὁ Κυρηναῖος, 英: Theodorus of Cyrene, fl. c. 紀元前450年）は、古代ギリシアの数学者です。プラトンの対話篇『テアイテトス』、『ソピステス』、『ポリティコス』に登場することで知られています。

来歴

テオドロスの生涯に関する情報は、プラトンの記述を除くとほとんど残っていません。彼は北アフリカの植民都市キュレネで生まれ、キュレネとアテネで教鞭を執りました。『テアイテトス』の中で自身の老いを嘆いていることから、彼の全盛期は紀元前5世紀半ばであったと考えられています。

『テアイテトス』には、テオドロスが幾何学を学ぶ以前にソフィストのプロタゴラスに師事していたことが記されています。また、テオドロスの生徒にはテアイテトスがいました。古代の伝記作家、例えばディオゲネス・ラエルティオスは、プラトンもキュレネでテオドロスに師事したと伝えていますが、これは疑わしいとされています。

プルタルコスによれば、テオドロスはデルポイの神殿の聖職者でもあり、アルキビアデスや他のソクラテスの仲間と共に、饗宴で秘密を広めたとして告発されたとされています。

数学の功績

テオドロスの数学的な功績として知られているのは、3から17までの自然数の平方根が無理数であるという定理です。この情報はプラトンの『テアイテトス』に記述されており、その歴史的正確性については議論があります。

平方根の無理数性

テオドロスは、2の平方根については言及していません。また、彼の証明方法も不明です。さらに、『テアイテトス』における「up to」（μέχρι）が17を含んでいるかどうかさえ定かではありません。ハーディ、ライト、クノールは、最終的に、x² = ny²が整数の範囲で解ける場合、nが奇数ならば、1とnは8を法として合同であるという定理から証明が導かれたと推測しました。

自然数の偶奇に着目した考察では、17の平方根の無理数性の証明は、偶奇性を考察する体系では不可能であることが示されています。しかし、より強力な自然公理の体系で偶奇の計算によって証明可能かどうかは未解決です。

ツォイテンは、テオドロスがユークリッドの『原論』にある互除法（現代でいうユークリッドの互除法）を用いた可能性を指摘しています。これは、連分数展開が無限であることによる無理数性の証明に相当します。無理数である平方根の連分数は循環します。例えば、√19の場合、循環節の長さは6であり、これは19以下のどの自然数の平方根の循環節よりも長いです。√17の循環は長さ1です（√18の無理数性は√2の無理数性から導かれます）。

テオドロスの螺旋

「テオドロスの螺旋」として知られる図形は、斜辺が√2、√3、√4、…となる直角三角形を繋げたものです。√17を超えると、三角形は重なり始めます。フィリップ・デイヴィスは、内挿によってこの螺旋を連続的な曲線にしました。彼は、テオドロスの証明法を解き明かす試みの歴史について考察し、著書『Spirals: From Theodorus to Chaos』やフィクション作品「Thomas Gray」シリーズでこの問題に触れています。

テアイテトスは、より一般的な無理数性の理論を確立しており、非平方数の平方根が無理数であるという理論は、プラトンの同名の書籍や『原論』の欄外古注にも見られます。

関連項目

古代ギリシアの数学者の年表
プラトンの対話篇の話者の一覧
二次の無理数
ウィルバー・クノール

出典

Gow, James (1884). A Short History of Greek Mathematics. University press. p. 85.
Choike, James R. (1980). “Theodorus' Irrationality Proofs”. The Two-Year College Mathematics Journal.

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