グロス＝ピタエフスキー方程式

グロス＝ピタエフスキー方程式についての詳細

グロス＝ピタエフスキー方程式（GPE）は、ボソン間の相互作用を擬ポテンシャルとして表現する理想的なボソン多体系の基底状態を記述するモデルである。この方程式は、ユージン・グロスとレフ・ピタエフスキーの名前に由来し、しばしば略称のGP方程式または単にGPと呼ばれる。GPEはハートリー＝フォック近似に基づいており、N体のボソン系全体を説明する波動関数は、各ボソンに対応する個別の波動関数の積として表現される。

1. 基本的な定義

gprその定義として、ボソンの位置を示すベクトルを ri とすると、全体の波動関数 Ψ は以下のように表されることができる。

$$
Ψ(r_1, r_2, …, r_N) = ψ(r_1)ψ(r_2)…ψ(r_N)
$$

この数式において、各 ri は i番目のボソンの位置を示す。

方程式のハミルトニアン H は、次のように定義される。

$$
H = ∑_{i=1}^{N} igg{(} -\frac{ℏ^2}{2m} \frac{∂^2}{∂ r_i^2} + V(r_i) \bigg{)} + ∑_{i $$

ここで、mはボソンの質量、V(r_i)は外部ポテンシャルを、as はボソン同士の散乱長を示す。また、δはデルタ関数である。GPEは典型的に一粒子の波動関数に適用され、次の形を取る。

$$
\bigg{(} -\frac{ℏ^2}{2m}\frac{∂^2}{∂ r^2} + V(r) + \frac{4πℏ^2 a_s}{m} |ψ(r)|^2 \bigg{)} ψ(r) = μ ψ(r)
$$

ここでμは化学ポテンシャルを表し、規格化条件に従う。

2. ボース＝アインシュタイン凝縮体の性質

ボース＝アインシュタイン凝縮体は、全てのボソンが同一の量子状態をとるボソン気体であるため、この方程式によって記述される。自由粒子は一粒子のシュレーディンガー方程式で扱えるが、実際の気体では粒子間の相互作用を考慮する必要がある。特に、平均距離が散乱長よりも大きい希薄極限（dilute limit）において、相互作用は擬ポテンシャルに近似される。

GPEの非線形性は、ボソン間の相互作用に起因しており、相互作用の結合定数をゼロに近づけていくことで、非線形性とその影響を理解することができる。この方程式は、トラップポテンシャルに束縛される粒子に対する単一のシュレーディンガー方程式に回帰する。

3. 方程式の構造

GPEはシュレーディンガー方程式に相互作用項を追加した形として現れる。相互作用項の結合定数gは、次のように定義され、ボソンの質量や散乱長に依存する。

$$
g = \frac{4πℏ^2 a_s}{m}
$$

更に、エネルギー密度は次のように表される。

$$
E = \frac{ℏ^2}{2m} |∇Ψ(r)|^2 + V(r)|Ψ(r)|^2 + \frac{1}{2}g|Ψ(r)|^4
$$

GPEの時間に依存しない形式は以下のように表せる。

$$
μΨ(r) = \bigg{(}-\frac{ℏ^2}{2m}∇^2 + V(r) + g|Ψ(r)|^2 \bigg{)}Ψ(r)
$$

この形式から様々なトラップポテンシャルの中でのボース＝アインシュタイン凝縮体の性質を見出すことができる。さらに、時間に依存する方程式は以下のように記述される。

$$
i ℏ \frac{∂Ψ(r,t)}{∂t} = \bigg{(-\frac{ℏ^2}{2m}∇^2 + V(r) + g|Ψ(r,t)|^2 \bigg{)}Ψ(r,t)
$$

この時間依存のGPEは、ボース＝アインシュタイン凝縮体の動的な特性を示す。

4. 解の概念

GPEは非線形偏微分方程式であり、解析的な解を得ることが難しい場合が多い。このため、様々な近似的解法が開発されている。最も単純な解析解は自由粒子の場合の解であり、外場がない場合において次の形をとる。

$$
Ψ(r) = \sqrt{\frac{N}{V}} e^{i k ⋅ r}
$$

ここで、kは波数を示す。この解はしばしばハートリー解と呼ばれ、相互作用の影響によるエネルギーギャップは存在する。

また、ボース＝アインシュタイン凝縮体のソリトン現象も研究されており、ボソン間の引力または斥力によって生成される。特に、引力が働く場合には明るいソリトンが、斥力が働く場合には暗いソリトンが形成される。

これらの現象は、ボース＝アインシュタイン凝縮体の特性理解に重要な意味を持つ。

5. 近似解法

厳密な解析解が得られない場合は、変分法やトーマス＝フェルミ近似などが用いられる。特に、大規模なボソン気体においては、ボソン間相互作用が支配的になり、運動エネルギーを無視することが可能で、これにより解が得られる。これにより、ボース＝アインシュタイン凝縮体の挙動をより深く理解することができる。

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