ケイリーの定理

ケイリーの定理

ケイリーの定理は、全ての群 G が対称群の部分群に同型であることを示した重要な理論です。本記事では、定理の詳細、証明、関連する歴史的背景について説明します。

定理の内容

ケイリーの定理に従えば、任意の群 G はその元が G の集合の置換を行う群、すなわち対称群 Sym(G) の部分群として捉えられます。具体的には、群の元 g に対して、G の任意の元 x に g を左から掛ける写像 ℓg: G → G が G の置換として定義されます。このようにして、群 G は対称群 Sym(G) の部分群と同型であることが示されます。

群 G が有限な場合、Sym(G) もまた有限であり、ケイリーの定理は特に G が n 次の有限群の場合、その群が標準的な対称群 Sn の部分群と同型であることを証明することができます。しかし、群 G がより小さな対称群 Sm (m < n) にも同型である可能性があることも留意すべきです。一例として、群 G が S3 である場合、S6 の部分群としても存在し、さらに S3 自身の部分群とも同型となります。このように、群 G が埋まる最小次数の対称群を見つけることは、非常に難しい課題でもあります。

アルペリンとベルは、有限群が対称群に埋まるという事実が有限群の研究手法に影響を与えることがないと指摘しました。無限大の群 G に対しても、Sym(G) は無限であり、ケイリーの定理は依然として適用可能です。

歴史的背景

ケイリーの定理はアーサー・ケイリーにちなんで名付けられました。彼は1854年にこの定理の元となる主張を行いましたが、当時はまだ「群」という言葉自体が一般的ではなく、代わりに「置換群」と呼ばれていました。このため、ケイリーが行った研究と当時の既知の群の関係には理解を要する部分が多かったのです。実際、バーンサイドはこの定理の起源をジョルダンに帰属させることがありますが、エリック・ヌメラはケイリーの発見が彼よりも早かったと主張しています。ケイリーは、定理が1対1の対応であることを示したものの、これが準同型であることを証明するには至りませんでしたが、彼の報告は当時の数学界に重要な影響を与えました。

その後、1882年にはヴァルター・ダイクによってこの定理が発表され、バーンサイドの初版の著作にも引用されています。

証明

ケイリーの定理の証明は、群 G の元 g を用いて関数 fg: G → G を定義し、fg(x) = g * x とします。この関数は全単射であり、従って置換と見なされます。こうして得られた集合 K = {fg | g ∈ G} は、G と同型な Sym(G) の部分群になります。群の準同型 T:G → Sym(G) が単射であることも示され、これにより G と部分群 K が同型であることが確定します。

他の証明方法として、群 G の元による自然な自己作用を考え、対応する置換表現 φ:G → Sym(G) が単射であることから、Im φ ≃ G が成り立つことを利用することもできます。このように、ケイリーの定理は多様な視点から理解され、深い数学的な洞察を提供します。

通常の群表現の例

例えば、整数の加算を法として得られる群 Z_n は、群の各元とその置換の対応を考える際に非常に典型的な例です。群の単位元は恒等置換に、他の元は様々な置換に対応します。

このように、ケイリーの定理は群論の基礎を築く重要な法則であり、その深遠さは数学の様々な分野に影響を与えています。

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