コンウェイ円

コンウェイ円 (Conway circle)

コンウェイ円とは、ユークリッド幾何学における三角形に関連する特別な円の一つです。三角形の各辺を直線として延長した際に現れる、特定の条件を満たす6つの点を全て通る円として定義されます。そして、これらの6点が必ず同一円周上にあることを主張する数学的な定理を、「コンウェイ円の定理」と呼びます。この名称は、イギリスの数学者ジョン・ホートン・コンウェイ（John Horton Conway）に敬意を表して付けられました。

定義される6つの点

三角形を△ABCとし、その3辺の長さをそれぞれBC=a, CA=b, AB=cとします。コンウェイ円を定義するための6つの点は、各辺の延長線上に以下のように配置されます。

辺BCの延長線上に、頂点Bから距離b、頂点Cから距離cとなる2点
辺CAの延長線上に、頂点Cから距離c、頂点Aから距離aとなる2点
* 辺ABの延長線上に、頂点Aから距離a、頂点Bから距離bとなる2点

これらの合計6点が、コンウェイ円が通過する点となります。辺の「延長線上」とは、元の辺の方向だけでなく、その逆方向も含めた直線を指します。したがって、これらの点は三角形の外側に位置することも、辺上に位置することもあり得ます。

コンウェイ円の定理

コンウェイ円の定理は、上記の定義に従って配置された6つの点、すなわち各頂点からその対辺と同じ長さだけ、対応する辺の延長線上（直線）にとった点は、常に一つの円周上にあるという主張です。この円がコンウェイ円です。

定理の証明の概要

この定理の証明は、主に三角形の内心（内接円の中心）を利用して行われます。

1. まず、△ABCの内心をIとします。内心は、三角形の内角の二等分線の交点であり、内接円の中心です。
2. 次に、内接円と三角形の辺a, b, cとの接点をそれぞれFa, Fb, Fcとします。内心Iからこれらの接点までの距離は、内接円の半径rに等しく、IFa, IFb, IFcはそれぞれの辺に対して垂直です。
3. 三角形の性質として、頂点から内接円の接点までの距離は、半周長s = (a+b+c)/2を用いて表すことができます。例えば、AFc = AFb = s - a、BFc = BFa = s - b、CFa = CFb = s - cとなります。
4. ここで、コンウェイ円を定義する6つの点と内心Iを結ぶ線分を考えます。証明では、これらの線分がすべて同じ長さであることを示します。内心I、内接円の接点、そしてコンウェイ円上の点の間にできる複数の直角三角形を考えると、これらの三角形は内接円の半径rや、先のステップで得られたs-a, s-b, s-cといった辺の長さを利用して、互いに合同であることが示されます。
5. これらの合同な直角三角形の斜辺が、内心Iからコンウェイ円上の6点までの距離に相当するため、全ての点が内心Iから等距離にあることが証明され、共円であることが示されます。

コンウェイ円の半径

コンウェイ円の中心は三角形の内心Iであり、その半径Rは、内接円の半径rと三角形の半周長sを用いて、以下の式で表されます。

$$ R = \sqrt{r^2 + s^2} $$

これは、証明の過程で現れる合同な直角三角形の斜辺の長さに対応します。

より広い視点：一般化

コンウェイ円の定理は、実はより一般的な定理の特別な場合と見なすことができます。その一般的な定理とは、三角形の辺上の任意の点Pから出発し、辺に沿って一定の規則で点を定めていくと得られる6つの点が常に共円であるという主張です。コンウェイ円は、この一般的な構成において、最初の点Pを辺の延長上の特定の点（例えば、ある頂点からの距離が対辺の長さに等しくなる点）に設定した場合に得られる特別なケースなのです。

関連する概念

三角形に関連する円はコンウェイ円の他にも、九点円やフールマン円など数多く存在します。コンウェイ円は、これらの多様な三角形の性質を示す円の一つとして知られています。

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