フールマン円

フールマン円

ユークリッド幾何学におけるフールマン円（英: Fuhrmann circle）は、三角形の幾何学において特徴的な円の一つです。この円の名称は、19世紀のドイツの数学者であるヴィルヘルム・フールマン（Wilhelm Fuhrmann）の貢献を記念して名付けられました。

定義と基本性質

フールマン円は主に以下の二つの方法で定義されます。

1. 任意の三角形において、そのナーゲル点と垂心を直径の両端とする円として定義されます。ナーゲル点は三角形の内接円と傍接円に深く関連する点であり、垂心は三角形の各頂点から対辺に下ろした垂線が一点で交わる点です。
2. また、フールマン円はフールマン三角形の外接円としても特徴づけられます。フールマン三角形は、特定の幾何学的な作図手順によって得られる三角形です。

フールマン円の中心は、三角形の中心点の体系的なリストである「Encyclopedia of Triangle Centers」において、X355という識別番号で登録されています。

フールマン円の半径は、三角形の形状に関する重要な情報を含んでいます。この円の半径は、三角形の外心と内心との間の距離に等しいことが知られています。この性質は、三角形の幾何学における古典的な定理であるオイラーの定理によって関連付けられる興味深い事実です。

三角形の各頂点から下ろされた垂線（頂垂線）とフールマン円の交点にも、特別な性質が見られます。垂心とは異なる、各頂垂線とフールマン円との交点について、その交点から同じ頂垂線上に位置する元の頂点までの距離は、その三角形の内接円の直径に等しくなります。この性質は、フールマン円が三角形の内部構造と密接に結びついていることを示唆しています。

さらに、フールマン円の中心と三角形の内心を結ぶ線分の中点は、その三角形の九点円の中心と一致します。九点円は、三角形の辺の中点、垂足点、垂心と各頂点の中点という九つの重要な点を通る円です。

一般化

フールマン円の概念は、さらに一般的な幾何学的枠組みへと拡張されています。

ヘギー円（Hagge Circle）

三角形とその辺上にない任意の点Pに対して定義されるPのヘギー円（またはPのフールマン円）は、フールマン円の重要な一般化です。これは、点Pに関連する特定の三角形（Pフールマン三角形）の外接円として定義されます。この一般化はカール・ヘギーに由来し、点Pが三角形の内心である特別な場合に、Pのヘギー円は通常のフールマン円と一致します。

ヘギー円は、常に三角形の垂心を通るなど、フールマン円の性質の多くを引き継いでいます。

Vu Circle

比較的最近の進展として、2020年にはVu Thanh Tungによって、ヘギー円をさらに一般化するVu Circleが提唱されました。これは三角形と二つの任意の点P, Uを用いて定義される円であり、点Pを垂心とすることでヘギー円が得られることが示されています。

これらの一般化された円の研究は、三角形の幾何学における円や点の性質に関する理解を深める上で重要な貢献となっています。

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