コーンの不等式

概要

コーンの不等式は、解析学、特に偏微分方程式論や連続体力学において重要な役割を果たす基本的な不等式です。これは、ある種の関数空間に属するベクトル場の勾配が持つ性質に関するもので、古典的な幾何学的剛性（リジディティ）の概念を定量的に表現したものとみなすことができます。特に、線形弾性論における変位場の解析において不可欠な道具として用いられます。

定義と背景

この不等式は、もともと以下の古典的な幾何学的定理を一般化する形で現れました。

ある領域で定義されたベクトル場の勾配が、その領域内の任意の点で歪対称行列であるならば、その歪対称行列は定数成分を持つ行列でなければならない。

これは直感的に、物体の無限小の変形を記述する勾配が常に回転のみ（歪対称行列に対応）であるならば、その回転は空間全体で一定でなければならない、ということを意味します。コーンの不等式は、この「勾配が歪対称に近い」という条件を定量的に緩和した場合に、ベクトル場全体がどのような制約を受けるかを示します。すなわち、「ベクトル場の勾配が平均的に見て歪対称行列が張る空間から大きく離れていないならば、その勾配は（ある特定の）歪対称行列から大きく離れることはできない」という剛性の性質を、厳密な不等式の形で与えるものです。

数学的ステートメント

n次元ユークリッド空間 $\mathbb{R}^n$（ただし $n \ge 2$）の開かつ連結な部分集合 $\Omega$ を考えます。この $\Omega$ 上で定義されたベクトル場 $v = (v_1, \ldots, v_n)$ に対して、そのベクトル場自身およびその1階弱微分がL2空間 $L^2(\Omega)$ に属するような関数全体のなす空間をソボレフ空間 $H^1(\Omega)$ と呼びます。$H^1(\Omega)$ には、ベクトル場 $v$ のL2ノルムと、その全ての1階偏微分（弱微分）のL2ノルムを組み合わせた形で定義される標準的なノルム $||\cdot||_{H^1(\Omega)}$ があります。

コーンの不等式は、この空間 $H^1(\Omega)$ に属する任意のベクトル場 $v$ に対して、ある定数 $C \ge 0$（コーン定数と呼ばれます）が存在し、以下の形の評価式が成り立つことを主張します。

$$ ||v||_{H^1(\Omega)} \le C \left( ||ev||_{L^2(\Omega)} + ||v||_{L^2(\Omega)} \right) $$

ここで $ev$ は、ベクトル場 $v$ の対称化勾配と呼ばれるテンソル場であり、その $(i, j)$ 成分は以下のように定義されます。

$$ (ev)_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v_j}{\partial x_i} + \frac{\partial v_i}{\partial x_j} \right) $$

この $(ev)_{ij}$ は、物理的には線形ひずみテンソルの成分を表します。また、$||ev||_{L^2(\Omega)}$ は、対称化勾配の全ての成分の二乗和を $\Omega$ 上で積分し、その平方根を取ったL2ノルムです。

この不等式が示しているのは、$H^1$ノルム（ベクトル場の滑らかさや全体の変位の大きさを測る指標）が、対称化勾配のL2ノルム（ひずみの大きさの指標）と元のベクトル場のL2ノルム（剛体並進・回転成分を含むかもしれない全体の変位の大きさ）によって上から抑えられる、ということです。

物理的応用

コーンの不等式は、線形弾性理論において特に重要です。弾性体が外部からの力によって変形を受けたとき、その変位はベクトル場 $v$ として記述されます。このとき、変位勾配テンソル $
abla v$ の対称部分である $ev$ は、弾性体のひずみの状態を正確に表します。コーンの不等式は、ひずみの大きさが分かっていれば（すなわち $||ev||_{L^2(\Omega)}$ が既知であれば）、変位場全体のソボレフノルム $||v||_{H^1(\Omega)}$ を評価できることを保証します。これは、線形弾性問題の解の存在や一意性を示す際、あるいは近似解法の誤差評価を行う際のアプリオリ評価（解を実際に求める前に得られる評価）を得る上で極めて強力なツールとなります。

コーンの不等式