シローの定理

シローの定理の概要

シローの定理は、数学の有限群論における基本的な定理の一つであり、特に有限単純群の分類において重要な役割を果たしています。この定理は、1872年にノルウェーの数学者ルートヴィヒ・シローによって提唱され、群の特定の素数に関連する部分群の存在や性質に関する詳細な情報を提供します。

シロー p-部分群の定義

シロー定理において、特定の素数pに対して、与えられた有限群Gにおけるシローp-部分群、またはp-シロー部分群とは、Gの極大p-部分群を指します。これらの部分群の位数はpの冪であり、G内の他のいかなるp-部分群の真部分群ではありません。すべてのシローp-部分群を集めた集合はSylp(G)と表記されます。

シローの定理の主な主張

シローの定理は、ラグランジュの定理の部分的な逆を主張しています。ラグランジュの定理は、有限群Gの任意の部分群の位数がGの位数を割り切ることを述べています。一方でシローの定理は、有限群Gの位数における任意の素因数pに対し、Gには必ずシローp-部分群が存在することを証明しています。

ここで、nは群Gの位数におけるpの重複度を示し、シローp-部分群の位数はpnに等しいとされます。つまり、位数pnの任意の部分群もまたシローp-部分群であることが分かります。さらに、任意のシローp-部分群は互いに共役であり、シローp-部分群の個数npは以下の形で表現されます：

np = 1 + rp （rは0以上の整数）。

極大性の重要性

シローの定理の重要な結果として、すべてのシローp-部分群が同じ位数pnを持つことが挙げられます。また、任意のp-部分群Hについて、Hは位数pnのシローp-部分群の部分群であることが示されます。特に、np = 1である場合、シローp-部分群は正規部分群であることを意味します。

有限群における応用

シローの定理は、グループ理論の多くの側面に応用されます。たとえば、ある群Gの位数が素数2の冪で割り切れる場合、シローの定理を使用するとその群は巡回群であることが示せます。この定理は、群の構造や分類を理解する上で非常に役立ちます。

無限群への拡張

さらに、シローの定理の類似は無限群にも存在します。無限群Gにおいて、シローp-部分群は、Gのすべてのp-部分群の中で最大のp-部分群を指し、ツォルンの補題によりそのような部分群は必ず存在します。

具体例

特に、二面体群Dnにおけるシロー部分群の実例も非常に興味深いです。nが奇数の場合、位数2の部分群はシローp-部分群であり、nが偶数の場合、群の位数は4で割り切れていないため、別の性質を持つ部分群が形成されます。これらの例は、群の対称性や位置における構造を考える上で重要なサンプルとなります。

結論

シローの定理は、有限群の構造を分析する上で欠かせない道具であり、その応用は数学のさまざまな分野に広がっています。群論の研究や理論の発展に寄与する上で、非常に重要な役割を担っていると言えるでしょう。

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