二面体群

二面体群：正多角形の対称性を解き明かす群

二面体群 (英: dihedral group) は、正多角形の対称性を数学的に表現したものです。正確には、正多角形をそれ自身に重ね合わせる合同変換全体の集合が成す群を指します。これらの合同変換は、回転と鏡映の2種類に分類できます。

二面体群は、有限非可換群の中でも最も単純な例であり、群論、幾何学、結晶学、化学などの分野で重要な役割を果たしています。同様の概念は、3次元以上の正多面体や正多胞体にも拡張できます。「二面体」という名称は、3次元空間で正多角形を裏表の区別を付けて考えた場合に由来しています。

群の元と構造

正n角形は、2n個の合同変換によって不変です。これらはn個の回転とn個の鏡映から構成されます。

回転: 360°/n の回転とその倍数 (2倍、3倍…n倍) の回転です。n倍の回転は360°の回転となり、何もしないことと同等で、これが二面体群の単位元です。
鏡映: 正n角形にはn本の対称軸があり、それぞれの軸に関する鏡映が考えられます。nが奇数の場合は、頂点と対辺の中点を結ぶ直線がn本、nが偶数の場合は、対頂点を結ぶ直線と対辺の中点を結ぶ直線がそれぞれn/2本ずつ存在します。

これらの2n個の変換の集合を D_n または Dih_n と表記し、場合によっては元の数を強調して D_2n と表記することもあります。これらの変換は合成演算（変換を続けて行う操作）に関して群をなし、これを二面体群と呼びます。

例えば、D₃ (正三角形の二面体群) の乗算表を考えると、ある軸に関する鏡映を続けて別の軸に関する鏡映を行うと、二つの軸のなす角の2倍だけ回転させる操作に等しくなります。このことから、D_n の元の合成は再び D_n の元になります。

行列による表現

正多角形の中心を座標平面の原点に置くと、正多角形を不変にする合同変換は線形写像とみなせます。そのため、D_n の各元は行列で表現でき、変換の合成は行列の積に対応します。これは群の忠実表現の一例です。

例えば、D₄ (正方形の二面体群) は以下の8つの行列で表現できます。回転行列 R_k と鏡映行列 S_k (k = 0, 1, 2, 3) は以下の式で表されます。

R_k = cos(2πk/n), -sin(2πk/n)], [sin(2πk/n), cos(2πk/n)

S_k = cos(2πk/n), sin(2πk/n)], [sin(2πk/n), -cos(2πk/n)

これらの行列の積は、以下の関係式に従います。

R_iR_j = R_i+j, R_iS_j = S_i+j, S_iR_j = S_i-j, S_iS_j = R_i-j

ここで、添字の加減算はnを法とする合同算術です。

位数の小さな二面体群

正多角形の合同変換を考える場合、nは3以上でなければ意味を持ちませんが、上記の行列表現はn=1, 2でも意味を持ち、これらも二面体群に含めることがしばしばあります。D₁ は位数2の巡回群、D₂ はクラインの四元群であり、これらはアーベル群です。一方、n≥3の場合はD_n は非可換群となります。また、n≥3の場合、D_n は対称群S_n の部分群ですが、n=1, 2の場合はそうではありません。

視覚的な説明と生成元

D_n は原点を固定する2n個の合同変換からなります。これらの変換は、2π/n の回転 R と x軸に関する鏡映 S の組み合わせで生成されます。つまり、すべての変換は R^k と R^kS (k=0, 1, ..., n-1) の形で表すことができます。R と S の間には SRS = R^-1 という関係があります。これは「鏡の中の回転は鏡の外の逆回転に相当する」ことを意味します。

同値な定義

二面体群を定義する方法は他にもあります。グラフ理論では、n個の頂点を持つサイクルの自己同型群として定義できます。抽象代数学では、生成元と関係式を用いた定義が可能です。例えば、

D_n = n = s² = 1, srs = r^-1>

という表示が用いられます。ここで、rは回転、sは鏡映に対応します。

性質

n≥3 のとき、正多角形の頂点に番号を付けると、D_n の元はn個の番号の置換とみなせます。そのため、D_n は対称群 S_n の部分群となります。D₃ は S₃ と一致し、n≥4 の場合は D_n は S_n の真の部分群です。nの偶奇によって、D_n の性質は微妙に異なります。例えば、中心はnが奇数の場合は単位元のみ、nが偶数の場合は単位元と180°回転の2つからなります。

その他

二面体群は、2次元直交群 O(2) や 3次元特殊直交群 SO(3) の部分群としても解釈できます。鏡映も3次元空間における回転と見なせるからです。正多角形に関する不変な図形は正多角形に限らず、円なども含まれます。自己同型群、共役類など、更なる数学的性質についても深く研究されています。

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