ジョンソン円

幾何学において、ジョンソン円（英: Johnson circles）とは、一つの共通な点Hを共有し、かつ、すべて同じ半径Rを持つ三つの円のことを指します。

これらの三つの円のうち、どの二つの円をとっても、共通点H以外にもう一つの交点を持ちます。これらの三つの交点（特殊な配置、例えば二円が接する場合や一致する場合を除く）を結んでできる三角形は、基準三角形（reference triangle）と呼ばれます。ジョンソン円は、20世紀初頭の幾何学者ロジャー・アーサー・ジョンソンにちなんで名付けられました。

性質

ジョンソン円にはいくつかの興味深い性質があります。

ジョンソン三角形: ジョンソン円それぞれの中心を結んでできる三角形は、ジョンソン三角形（Johnson triangle）と呼ばれます。これらの三つの中心は、共通点Hを中心とし、ジョンソン円と同じ半径Rを持つ円周上に位置します。
逆補円との関係: ジョンソン円は、中心H、半径2Rの円（逆補円、anticomplementary circle）に接します。この三つの接点は、ジョンソン三角形の各頂点を点Hについて鏡映した位置になります。
接点と基準三角形: ジョンソン円と逆補円の三つの接点を結んでできる三角形は、基準三角形の逆補三角形（anticomplementary triangle）を成します。この逆補三角形は、ジョンソン三角形を点Hを中心に相似比2で拡大した図形と一致します。

ジョンソンの定理

ジョンソン円に関する最もよく知られた事実は、ジョンソンの定理として定式化されています。この定理は次のように述べられます。

ジョンソン円のうち二つの円の、共通点Hではない方の交点（すなわち、基準三角形の頂点）は、すべて同じ一つの円周上にあります。この円は、基準三角形の外接円に他ならず、その半径はジョンソン円と同じRです。

この定理は、ルーマニアではゲオルゲ・ティツェイカによる「5レイ硬貨問題」として知られています。

基準三角形とジョンソン三角形の関係

基準三角形とジョンソン三角形の間には、密接な幾何学的関係が存在します。

合同: 基準三角形とジョンソン三角形は合同です。
点Hの役割: 共通点Hは、基準三角形にとっては垂心であり、ジョンソン三角形にとっては外心となります。
相似の中心: 基準三角形とジョンソン三角形は相似の位置にあり、その相似比は-1です。この相似の中心は、両三角形の共通の九点中心（九点円の中心）と一致します。九点中心が外心と垂心の中点であるという事実から、この性質が導かれます。

更なる性質

ジョンソン円とそれに関連する三角形は、さらに多くの興味深い性質を示します。

ジョンソン円は、基準三角形の外接円をその三辺それぞれについて鏡映したものとして捉えることができます。この鏡映操作において、共通点Hは基準三角形の外接円上に移ります。また、基準三角形の外心Oをその三辺で鏡映した点が、ジョンソン三角形の三つの頂点となります。
ジョンソン三角形と基準三角形は、共通の九点円を持ちます。また、両三角形のすべての頂点は、共通のジョンソン外接円錐曲線（Johnson circumconic）と呼ばれる一つの円錐曲線上にも存在します。この円錐曲線の中心は両三角形の九点中心です。
* 両三角形の頂点、そして外心、垂心、九点中心といった重要な点を通過する特殊な外接三次曲線も存在します。これらには、第一ムッセルマン三次曲線 (first Musselman cubic, K026) や、オイラー中心三次曲線 (Euler central cubic, K044) などがあります。

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