空間充填

空間充填：図形による空間の隙間ない埋め尽くし

空間充填とは、図形を用いて空間を隙間なく埋め尽くす操作を指します。この概念は、数学、特に幾何学において重要な役割を果たし、様々な分野に応用されています。単に「充填」と呼ばれることもありますが、広義にはテセレーション（Tessellation）とも呼ばれます。ただし、テセレーションは本来、平面（2次元ユークリッド空間）における充填を指すため、空間充填はより高次元への拡張と考えることができます。

空間充填によって構成された立体を空間充填立体、埋め尽くされた空間を空間充填形と呼びます。一般的には3次元ユークリッド空間での充填が議論の中心となりますが、定義上はどんな空間でも対象となります。例えば、ブロック積みやハニカム構造などは、3次元空間充填の身近な例です。

3次元ユークリッド空間における空間充填

3次元空間充填では、空間を隙間なく埋めるための「ブロック」と呼ばれる図形が用いられます。立方体、菱形十二面体、切頂八面体などは、単独で空間充填可能な図形として知られています。これらの図形は、それぞれ異なる幾何学的性質を持ち、充填パターンも多様性に富んでいます。

平面充填との関係性

平面充填可能な図形を柱状や斜柱状に拡張することで、空間充填可能な図形を作成することができます。例えば、任意の三角形は平面充填可能であるため、任意の三角柱も空間充填可能です。逆に、空間充填図形を平面に投影すると、平面充填パターンが得られます。この投影方法は様々で、投影角度を変えることで、異なる平面充填パターンが生成されます。例えば、立方体を投影すると正方形、菱形十二面体を投影するとペンローズ・タイルのようなパターンが得られます。

空間充填可能な図形の種類

空間充填可能な図形は多岐に渡ります。単一の図形だけで空間充填できるもの、複数の図形を組み合わせることで空間充填できるものなど、様々なパターンがあります。

1種類の図形による空間充填

単一の多面体で空間充填できる図形は、立方体、アルキメデスの正三角柱、アルキメデスの正六角柱、切頂八面体、菱形十二面体などがあります。これらの図形は、正多面体、半正多面体、正角柱など、一様多面体とその双対から選ばれます。特に、切頂八面体と菱形十二面体は、本質的に3次元的な空間充填可能な図形です。これらの図形の平行移動のみで空間充填できる図形を平行多面体と呼びます。

2種類以上の図形による空間充填

2種類以上の多面体を組み合わせることで、さらに多くの空間充填パターンが実現します。正四面体と正八面体、正四面体と切頂四面体などの組み合わせが知られています。ジョンソンの立体と呼ばれる多面体を含めることで、空間充填の組み合わせは爆発的に増加します。

高次元と非ユークリッド空間における空間充填

空間充填の概念は、3次元ユークリッド空間のみに限定されません。高次元ユークリッド空間や非ユークリッド空間においても、空間充填は重要な研究対象となっています。

高次元ユークリッド空間

4次元空間では、正八胞体、正十六胞体、正二十四胞体が1種類で空間充填できます。5次元以上では、超立方体による空間充填のみが知られています。

非ユークリッド空間

双曲空間では、ユークリッド空間では不可能な充填パターンが実現します。球面空間では、高次元ユークリッド空間の正多胞体とみなせる充填パターンが現れます。

まとめ

空間充填は、数学、幾何学において奥深い研究テーマであり、様々な図形、空間、次元の組み合わせによって、無限の可能性を秘めています。本記事ではその一部を紹介しましたが、さらに多くの研究成果が積み重ねられ続けています。

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