ダルブーの定理 (微分幾何学)

ダルブーの定理

ダルブーの定理は、微分幾何学、特に多様体上の微分形式に関する重要な基本定理の一つです。この定理は、フロベニウス積分定理の一部の側面を一般化するものであり、多様な分野で基礎的な役割を果たしますが、中でもシンプレクティック幾何学においては極めて中心的な結果とされています。

定理の名前は、19世紀のフランスの数学者ジャン・ガストン・ダルブーに由来します。彼はこの定理を、ヨハン・フリードリヒ・パッフが提起した「パッフの問題」に対する解答として導き出しました。

定理の重要性

この定理の最も注目すべき帰結の一つは、同じ次元を持つ任意の二つのシンプレクティック多様体が、局所的には互いに区別できない、すなわち「局所シンプレクティック同相」であるという事実です。より具体的には、任意の$2n$次元シンプレクティック多様体は、局所的には標準的なシンプレクティック形式を持つユークリッド空間 $\mathbb{R}^{2n}$（または複素空間 $\mathbb{C}^{n}$ と見なせる空間）とみなすことができる、と解釈できます。このことは、シンプレクティック多様体にはリーマン幾何学における曲率のような、局所的な不変量が存在しないことを意味します。また、この定理の考え方は、接触幾何学(contact geometry)における類似の定理にも応用されています。

定理の詳しい内容

ダルブーの定理は、一般には多様体上の微分1形式に関して述べられます。n次元多様体M上に定義された微分1形式$\theta$を考えます。この$\theta$の外微分$d\theta$が、多様体上のどの点でも一定のランクpを持つと仮定します。

このとき、状況に応じて局所座標系を選び直すことで、$\theta$を局所的に特定の簡単な形（標準形）に変換できる、というのが定理の主張です。具体的な形は、$\theta$と$d\theta$のwedge積によって定まる条件によって二つの場合に分かれます。

1. 多様体M上で常に $\theta \wedge (d\theta)^p = 0$ が成り立つ場合：
このとき、点の近傍に適切な局所座標系 $x_1, \ldots, x_{n-p}, y_1, \ldots, y_p$ を取ると、$\theta$はこの座標系の下で次のように書くことができます。
$$ \theta = x_1 \, dy_1 + \ldots + x_p \, dy_p $$

2. 多様体M上で常に $\theta \wedge (d\theta)^p
eq 0$ が成り立つ場合：
このときも、点の近傍に適切な局所座標系 $x_1, \ldots, x_{n-p}, y_1, \ldots, y_p$ を取ることができ、$\theta$は次のように書けます。
$$ \theta = x_1 \, dy_1 + \ldots + x_p \, dy_p + dx_{p+1} $$

シンプレクティック形式の場合

特に、多様体Mが$n=2m$次元のシンプレクティック多様体であり、$\omega$がそのシンプレクティック2-形式である場合を考えましょう。シンプレクティック形式は非退化な閉じた2-形式 ($d\omega = 0$) です。ポアンカレの補題によれば、$d\omega = 0$ であるため、多様体上の任意の点の近傍で、$d\theta = \omega$ となるような微分1-形式$\theta$が存在します。この$\theta$に対してダルブーの定理を適用することを考えます。シンプレクティック形式$\omega$の定義により、$(d\theta)^m = \omega^m$ は多様体上の体積要素となり、決してゼロにはなりません。したがって、$p=m$として、上記の二つのケースのうち、ケース2 ($ \theta \wedge (d\theta)^p
eq 0$) に近い状況（正確にはシンプレクティック形式の場合は1形式ではなく2形式が対象ですが、この1形式$\theta$から$\omega$が得られるという点で関連付けられます）が考えられます。より直接的には、シンプレクティック形式$\omega$自体に対して、局所座標系を適切に選ぶことで標準形が得られる、と述べられます。

シンプレクティック多様体上の点pの近傍Uにおいて、適切な局所座標系 $x_1, \ldots, x_m, y_1, \ldots, y_m$ が存在し、$\omega$はこの座標系の下で次のように書くことができます。
$$ \omega = dx_1 \wedge dy_1 + dx_2 \wedge dy_2 + \ldots + dx_m \wedge dy_m $$
この特別な局所座標系はダルブー座標系 (Darboux chart) と呼ばれます。この座標系を用いると、近傍Uから$\mathbb{R}^{2m}$（あるいは$\mathbb{C}^{m}$を$\mathbb{R}^{2m}$と同一視したもの）への写像$\phi: U \to \mathbb{R}^{2m}$を通じて、$\omega$は$\mathbb{R}^{2m}$上の標準シンプレクティック形式$\omega_0$の引き戻し$\phi^* \omega_0$として表現されます。これは、先の「局所シンプレクティック同相」であることの厳密な表現です。

リーマン幾何学との対比

ダルブーの定理が示す局所的な標準化可能性は、リーマン幾何学における状況と著しい対照をなします。リーマン多様体上の計量テンソルは、任意の点において適切な座標系（正規直交基底）を選ぶことで、その点上ではユークリッド計量の標準形（単位行列）にすることができます。しかし、その標準形が点の近傍全体で成り立つとは限りません。計量が近傍全体で標準形になるのは、リーマン曲率テンソルがゼロ、すなわち空間が平坦な場合に限られます。

対照的に、ダルブーの定理は、シンプレクティック形式が一点だけでなく、その近傍「全体」で標準形 $dx_1 \wedge dy_1 + \ldots + dx_m \wedge dy_m$ に変換できることを保証します。この違いは、シンプレクティック形式には局所的な「曲率」のような不変量が存在しないことに起因しています。

ダルブーの定理 (微分幾何学)