ダルブー導関数

概要

ダルブー導関数は、多様体からリー群への滑らかな写像（関数）に対して定義される特別な導関数の概念です。通常の多様体間の写像の導関数とは異なり、関数の値域がリー群であるという特性を利用して、関数の情報を「失わせる」形で定義されます。これにより、実数上の関数の微分積分学における「微分積分学の基本定理」に対応する、非自明な「積分」の問題をリー群値関数に対して定式化し、解くことが可能になります。

定義の背景

実数上の関数 `$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$` の導関数 `$f'$` もまた `$ \mathbb{R} \to \mathbb{R}$` の関数であり、与えられた関数 `$g$` に対して `$f' = g$` を満たす関数 `$f$` を求める問題（不定積分）は意味を持ちます。これは微分積分学の基本定理によって解かれます。

一方、一般的な多様体間の写像 `$f: M \to N$` の導関数 `$f_: TM \to TN$` は、接空間の間の線形写像として定義されます。しかし、この導関数 `$f_$` の定義の中には、元の写像 `$f$` の情報が埋め込まれています。具体的には、点 `$P \in M$` における接ベクトル `$v_P \in T_P M$` の像 `$f_(v_P)$` は点 `$f(P) \in N$` における接空間 `$T_{f(P)}N$` の元となります。したがって、$f_(v_P)$ がどの点の接ベクトルであるかを調べれば、$P$ の像である `$f(P)$` を容易に知ることができます。

実数関数の導関数 `$f'$` においてこのような問題が生じないのは、$f_(v_P)$ を（平行移動して）原点における接ベクトルと見なすことで、像の「基点」に関する情報（つまり `$f(P)$` の情報）を意図的に消去しているからです。

ダルブー導関数は、関数 `$f$` の値域がリー群 `$G$` である場合に、実数関数の導関数と同様の手法を適用した概念です。リー群 `$G$` には単位元 `$e$` という特別な点があり、各点 `$g \in G$` における接空間 `$T_g G$` を、左または右からの群の積を利用して単位元における接空間 `$T_e G$` へ移すことができます。単位元における接空間 `$T_e G$` は、リー群 `$G$` のリー代数 `$ \mathfrak{g}$` と呼ばれるベクトル空間と見なせます。

具体的な定義

多様体 `$M$` からリー群 `$G$` への滑らかな写像 `$f: M \to G$` が与えられたとき、点 `$P \in M$` における接ベクトル `$v_P \in T_P M$` に対する `$f$` の導関数 `$f_(v_P)$` は、点 `$f(P) \in G$` における接空間 `$T_{f(P)}G$` の元です。このベクトルを単位元 `$e$` における接空間 `$T_e G \cong \mathfrak{g}$` に移動させるため、左からの群の積による変換 `$L_{f(P)^{-1}}: G \to G$` （ここで `$f(P)^{-1}$` は `$f(P)$` の逆元）の導関数 `$L_{f(P)^{-1}}_$` を作用させます。

ダルブー導関数 `$ \omega_f$` は、各点 `$P \in M$` および各接ベクトル `$v_P \in T_P M$` に対して、以下のように定義される写像 `$ \omega_f: TM \to \mathfrak{g}$` です：

`$ \omega_f(v_P) := L_{f(P)^{-1}}_ (f_*(v_P)) \in T_e G \cong \mathfrak{g}$`

これは接ベクトル `$v_P$` に対してリー代数 `$ \mathfrak{g}$` の元を対応させる写像であり、微分形式の言葉で言えば `$ \mathfrak{g}$`-値1-形式と見なすことができます。このダルブー導関数 `$ \omega_f$` は、リー群 `$G$` 上で定義される特別な `$ \mathfrak{g}$`-値1-形式であるモーレー・カルタン形式と、写像 `$f$` の引き戻し（プルバック）によって得られることが知られています。

ダルブー導関数 `$ \omega_f$` は常に以下の構造方程式（モーレー・カルタンの方程式）を満たします：

`$ d\omega_f + \frac{1}{2}[\omega_f, \omega_f] = 0$'

ここで `$d$` は外微分、`$[ \cdot, \cdot ]$` はリー代数上のリー括弧から誘導される微分形式の括弧演算です。

微分積分学の基本定理

ダルブー導関数の重要な意義は、与えられた `$ \mathfrak{g}$`-値1-形式 `$ \omega$` が、ある関数 `$f: M \to G$` のダルブー導関数 `$ \omega_f$` となるような関数 `$f$` を復元できるか、という非自明な「積分」の問題を定式化できる点にあります。

簡単な場合として、定義域が実数の区間 `$I=[a,b]$` である関数 `$f: I \to G$` を考えます。この場合、与えられた `$ \mathfrak{g}$`-値関数 `$g: I \to \mathfrak{g}$` に対して、$ \omega_f = g$ となる `$f$` を求める問題は、初期値 `$f(a) = g_0$` を指定すれば一意的に解けることが知られています。これは実数における常微分方程式の初期値問題に相当し、曲線に沿った「発展」と呼ばれる概念によって捉えられます。

多様体 `$M$` 上の一般的な曲線 `$c: [a,b] \to M$` に対しても、曲線 `$c$` に沿った `$ \omega$` の「発展」と呼ばれる `$G$` への曲線 `$ \tilde{c}: [a,b] \to G$` を、初期条件 `$ \tilde{c}(a)=e$` と、$ \omega_{\tilde{c}}$ が `$c$` に沿った `$ \omega$` と一致するという条件のもとで定義できます。

もし `$ \omega$` が構造方程式を満たすならば、閉曲線 `$c$` に沿った発展 `$ \tilde{c}$` の終点 `$ \tilde{c}(b) \in G$` は、曲線のホモトピー（連続的な変形）に対して不変となります。これにより、M の基本群 `$ \pi_1(M, P_0)$` の各元（P0を基点とする閉曲線のホモトピー類）に対して、その代表元である閉曲線に沿った発展の終点を対応させる写像、すなわちモノドロミー写像を定義することができます。

そして、与えられた `$ \mathfrak{g}$`-値1-形式 `$ \omega$` が構造方程式を満たすとき、任意の初期値 `$f(P_0)=g_0$` に対して `$ \omega_f = \omega$` となる関数 `$f: M \to G$` が多様体 `$M$` 全体で定義できるための必要十分条件は、このモノドロミー写像が自明であること、つまり `$ \pi_1(M, P_0)$` のすべての元に対して発展の終点が単位元 `$e$` となること、が知られています。これは、ダルブー導関数に関する「微分積分学の基本定理」と解釈されます。

ダルブー導関数は、接続の理論やゲージ理論、あるいはフラットな接続の研究において重要な役割を果たします。

もう一度検索