一意分解環

一意分解環 (Unique Factorization Domain, UFD)

概要

一意分解環（UFD）は、数学の可換環の一種であり、整数の算術の基本定理の一般化として理解されます。この定理により、整数は素因数の積として一意に分解されることが保証されます。 UFDでは同様の性質が成り立ち、元が素元や既約元の積として表現されることが特徴です。

定義

厳密には、整域Rの零元および単元でない任意の元xが、Rの有限個の既約元の積として唯一の形で表現できるとき、Rは一意分解環と呼ばれます。すなわち、x = p1 p2 ... pn と表せるとすると、異なる既約元の積として再表示されることはないという条件が満たされているのです。

一意性の確認は時に難解であり、特に元が既約元で再表示できる場合、元の数は同じであり、並び替えが存在することを示す必要があります。この分解が一意に保たれることが一意分解環の重要な特性です。

一意分解環の例

数理学の初等教育で学ぶ多くの環はUFDの特性を持ちます。たとえば、単項イデアル整域（PID）は自動的にUFDでもあります。特に、有理整数環
Z やガウス整数環 Z[i]、アイゼンシュタイン整数環 Z[ω]などが確認できます。

さらに、任意の体はUFDです。なぜなら、体の元はすべて単元だからです。この中には有理数体や実数体、複素数体が含まれます。多項式環もUFDだとされ、特に体を係数とする場合の多項式環 K[x] はUFDになります。

分解の一意性が成立しない例

分解が一意でない環の例として、複素数の特定の形を考えることができます。例えば、整数aとbを用いて複素数 a + b√−5 を表わす場合、整数環Z[√−5]において6は2つの異なる方法で分解されます。これらの因子は既約元として機能しますが、同伴とはならず、これは分解が一意でないことを示す一例です。

また、多項式環の剰余環は多くの場合UFDではありません。具体的には、2変数以上の多項式環の剰余環では、異なる元の間に同一でない分解が存在することがしばしばです。

特徴

UFDに関するいくつかの重要な特性があります。例えば、UFD内の既約元はすべて素元であるため、これは一般の整域よりも厳格な条件となります。また、任意の二つの元には最大公約元と最小公倍元が存在し、これらは同伴であることが保証されます。

UFDはまた整閉整域の条件を満たしていて、商体における元が単項イデアルの根であれば、その元は元の環に存在する必要があります。

UFDとなる条件

UFDとして成立するための条件は多様ですが、特に重要なのは、ネーター環がその高さ1の素イデアルがすべて単項イデアルになることです。また、デデキント環の場合にはそのイデアル類群が自明であることが必要です。これにより、多くの環がUFDであるかどうかを確認しやすくなります。

結論

一意分解環（UFD）は多くの数学的理論の基盤を築いており、特に整数論や代数幾何、さらには数多くの他の数学的分野で重要な役割を果たします。この環の理論への理解は、現代数学における多くの問題や応用において非常に価値があります。

もう一度検索