パリー点
幾何学の分野において、パリー点（英: Parry point）は、特定の条件を満たす三角形の中心点の一つとして知られています。
この点は、クラーク・キンバリング氏がまとめた『Encyclopedia of Triangle Centers』という、三角形の中心に関する網羅的なリストにおいて、X(111)番目の中心として登録されています。パリー点および後述するパリー円は、1990年代初頭にイギリスの幾何学者シリル・パリー氏が行った研究業績を称えて命名されたものです。
パリー円とは、与えられた三角形ABCに対して、その重心と二つの等力点（三角形の頂点からの距離の比が辺の長さの逆数となる点）を通る特別な円を指します。
パリー円は、三角形の重心座標 $(x, y, z)$ を用いると、以下の代数的な方程式によって定義されます。
$$3(b^2-c^2)(c^2-a^2)(a^2-b^2)(a^2yz+b^2zx+c^2xy)+(x+y+z)\left(\sum _{\text{cyclic}}b^2c^2(b^2-c^2)(b^2+c^2-2a^2)x\right)=0$$
ここで、$a, b, c$ はそれぞれ辺BC, CA, ABの長さを表します。この複雑な方程式は、重心座標系におけるパリー円の軌跡を示しています。
パリー円の中心もまた、三角形の中心として特定されており、『Encyclopedia of Triangle Centers』ではX(351)番目の中心として登録されています。その三線座標（三角形の辺からの垂線距離の比で表される座標）は以下の通りです。
$$a(b^2-c^2)(b^2+c^2-2a^2):b(c^2-a^2)(c^2+a^2-2b^2):c(a^2-b^2)(a^2+b^2-2c^2)$$
三角形ABCのパリー円は、その外接円（三角形の三頂点を通る円）と通常二つの異なる点で交わります。これらの交点のうち、一方はキーペルト放物線という重要な幾何学的対象の焦点として知られる点です。そして、もう一方の交点が三角形ABCのパリー点と定義されます。
パリー点の三線座標は、以下の式で与えられます。
$${\frac {a}{2a^{2}-b^{2}-c^{2}}}:{\frac {b}{2b^{2}-c^{2}-a^{2}}}:{\frac {c}{2c^{2}-a^{2}-b^{2}}}$$
比較のために、パリー円と外接円のもう一つの交点であるキーペルト放物線の焦点（X(110)）の三線座標も以下に示します。
$${\frac {a}{b^{2}-c^{2}}}:{\frac {b}{c^{2}-a^{2}}}:{\frac {c}{a^{2}-b^{2}}}$$
シリル・パリー氏の研究に関連するもう一つの興味深い点として、パリー鏡映点（英: Parry Reflection Point）があります。この点は、三角形の各頂点A, B, Cを通り、オイラー線（三角形の重心、外心、垂心を通る直線）に平行な直線を考え、それぞれ対応する対辺BC, CA, ABに関して鏡映した三つの直線が一点で交わる点として定義されます。この交点がパリー鏡映点であり、『Encyclopedia of Triangle Centers』ではX(399)番として登録されています。
パリー鏡映点は、いくつかの注目すべき幾何学的性質を持っています。
ノイベルグ三次曲線やフェルマー軸と呼ばれる特別な曲線上に存在します。
第一等力点および第二等力点に関連して定義される特定の三角形（circlecevian triangle）同士の配景の中心（perspector）がパリー鏡映点となります。
第一フェルマー点、第二等力点、パリー鏡映点、そして第二ヴェルナウ点は同一円上に位置します。同様に、第二フェルマー点、第一等力点、パリー鏡映点、第一ヴェルナウ点も共円です。
元の三角形の頂点を対辺で鏡映して得られる鏡映三角形（Reflection triangle）A'B'C'と、内心I、傍心Ia, Ib, Icに関連するいくつかの円（IA'Ia, IB'Ib, IC'Ic, A'IbIc, B'IcIa, C'IaIb）は、すべてパリー鏡映点を通ります。
パリー鏡映点の三線座標は、角度 A, B, C の関数として以下のように表されます。
$$f(A,B,C)=5\cos A-4\cos B\cos C-8\sin B\sin C\cos ^{2}A$$
この関数 $f$ を用いると、パリー鏡映点の三線座標は $(f(A,B,C): f(B,C,A): f(C,A,B))$ となります。
これらの点は、三角形の幾何学における深遠な構造を示す例であり、現代の幾何学研究においても探求が進められています。
レスター円
三角形の中心
この点は、クラーク・キンバリング氏がまとめた『Encyclopedia of Triangle Centers』という、三角形の中心に関する網羅的なリストにおいて、X(111)番目の中心として登録されています。パリー点および後述するパリー円は、1990年代初頭にイギリスの幾何学者シリル・パリー氏が行った研究業績を称えて命名されたものです。
パリー円
パリー円とは、与えられた三角形ABCに対して、その重心と二つの等力点（三角形の頂点からの距離の比が辺の長さの逆数となる点）を通る特別な円を指します。
パリー円は、三角形の重心座標 $(x, y, z)$ を用いると、以下の代数的な方程式によって定義されます。
$$3(b^2-c^2)(c^2-a^2)(a^2-b^2)(a^2yz+b^2zx+c^2xy)+(x+y+z)\left(\sum _{\text{cyclic}}b^2c^2(b^2-c^2)(b^2+c^2-2a^2)x\right)=0$$
ここで、$a, b, c$ はそれぞれ辺BC, CA, ABの長さを表します。この複雑な方程式は、重心座標系におけるパリー円の軌跡を示しています。
パリー円の中心もまた、三角形の中心として特定されており、『Encyclopedia of Triangle Centers』ではX(351)番目の中心として登録されています。その三線座標（三角形の辺からの垂線距離の比で表される座標）は以下の通りです。
$$a(b^2-c^2)(b^2+c^2-2a^2):b(c^2-a^2)(c^2+a^2-2b^2):c(a^2-b^2)(a^2+b^2-2c^2)$$
パリー点
三角形ABCのパリー円は、その外接円（三角形の三頂点を通る円）と通常二つの異なる点で交わります。これらの交点のうち、一方はキーペルト放物線という重要な幾何学的対象の焦点として知られる点です。そして、もう一方の交点が三角形ABCのパリー点と定義されます。
パリー点の三線座標は、以下の式で与えられます。
$${\frac {a}{2a^{2}-b^{2}-c^{2}}}:{\frac {b}{2b^{2}-c^{2}-a^{2}}}:{\frac {c}{2c^{2}-a^{2}-b^{2}}}$$
比較のために、パリー円と外接円のもう一つの交点であるキーペルト放物線の焦点（X(110)）の三線座標も以下に示します。
$${\frac {a}{b^{2}-c^{2}}}:{\frac {b}{c^{2}-a^{2}}}:{\frac {c}{a^{2}-b^{2}}}$$
パリー鏡映点
シリル・パリー氏の研究に関連するもう一つの興味深い点として、パリー鏡映点（英: Parry Reflection Point）があります。この点は、三角形の各頂点A, B, Cを通り、オイラー線（三角形の重心、外心、垂心を通る直線）に平行な直線を考え、それぞれ対応する対辺BC, CA, ABに関して鏡映した三つの直線が一点で交わる点として定義されます。この交点がパリー鏡映点であり、『Encyclopedia of Triangle Centers』ではX(399)番として登録されています。
特徴
パリー鏡映点は、いくつかの注目すべき幾何学的性質を持っています。
ノイベルグ三次曲線やフェルマー軸と呼ばれる特別な曲線上に存在します。
第一等力点および第二等力点に関連して定義される特定の三角形（circlecevian triangle）同士の配景の中心（perspector）がパリー鏡映点となります。
第一フェルマー点、第二等力点、パリー鏡映点、そして第二ヴェルナウ点は同一円上に位置します。同様に、第二フェルマー点、第一等力点、パリー鏡映点、第一ヴェルナウ点も共円です。
元の三角形の頂点を対辺で鏡映して得られる鏡映三角形（Reflection triangle）A'B'C'と、内心I、傍心Ia, Ib, Icに関連するいくつかの円（IA'Ia, IB'Ib, IC'Ic, A'IbIc, B'IcIa, C'IaIb）は、すべてパリー鏡映点を通ります。
パリー鏡映点の三線座標は、角度 A, B, C の関数として以下のように表されます。
$$f(A,B,C)=5\cos A-4\cos B\cos C-8\sin B\sin C\cos ^{2}A$$
この関数 $f$ を用いると、パリー鏡映点の三線座標は $(f(A,B,C): f(B,C,A): f(C,A,B))$ となります。
これらの点は、三角形の幾何学における深遠な構造を示す例であり、現代の幾何学研究においても探求が進められています。
関連項目
レスター円
三角形の中心
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