ヒルベルトの第3問題

1900年にドイツの数学者ダフィット・ヒルベルトが発表した有名な23の未解決問題の一つ、ヒルベルトの第3問題は、その中でも特に早期に解決されたことで知られています。この問題の中心的な問いは、「体積が等しい二つの多面体があったとき、一方を有限個の多面体の断片に分割し、それらを組み合わせて他方を作ることが常に可能か？」というものでした。これは、平面図形においては「ボヤイの定理」として知られるように、同面積の多角形であれば有限回の切断と再構成によって互いに変換できるという事実が古くから知られており、その三次元版とも言える問いでした。

この問題の背景には、角錐の体積を求める際に、ユークリッド幾何学における面積の証明のように初等的な「切断と貼り付け」の操作だけでは証明が難しいという、当時の数学者たちが感じていた不満がありました。特に、高名な数学者カール・フリードリヒ・ガウスが、この点に関して懸念を示す書簡を残しており、それがヒルベルトの動機付けになったと言われています。「体積の等しさを、微積分や極限操作を用いず、純粋な幾何学的切断と貼り付けのみで示せるか？」という疑問は、もし上記の多面体の再構成が常に可能であれば肯定的に解決されるはずでした。しかし、ガウスは経験的に、この操作は常に可能ではないと予想しており、ヒルベルトも同様の直感を持っていました。

問題が発表されたその年のうちに、ヒルベルトの教え子であったマックス・デーンは、この問いに対する答えが一般的には「いいえ」であることを証明しました。デーンは、二つの多面体が有限個の断片への切断と再構成によって互いに変換可能な関係にあることを「分割合同」と呼び、この関係が成立するためには、両方の多面体がある特定の量、「デーン不変量」が一致しなければならないことを発見したのです。

デーン不変量 D(P) は、多面体 P の各辺 e の長さ $\ell(e)$ と、その辺を共有する二つの面がなす角である二面角 $\theta(e)$ を用いて定義されます。具体的には、$\sum_{e} \ell(e) \otimes (\theta(e) + \mathbb{Q}\pi)$ という形をしていますが、ここで重要なのは、この不変量が多面体を平面で切断しても保存される性質（より正確には加法性を持つ性質）を持つ点です。つまり、一つの多面体 P を P1 と P2 に切断した場合、D(P) = D(P1) + D(P2) となります。したがって、もしある多面体が複数の断片に分割され、それが別の多面体に再構成されるのであれば、分割前の多面体のデーン不変量と、再構成された多面体のデーン不変量は等しくなければなりません。

デーンは、体積が等しい場合でも、正六面体のデーン不変量が常にゼロになるのに対し、正四面体のデーン不変量が常にゼロではない値を取ることを示しました。この発見により、体積が等しいからといって必ずしも分割合同であるとは限らない、つまり元の問いの答えが一般には「いいえ」であることが確定しました。これは、抽象代数学の概念が幾何学における特定の操作の限界を示すという、数学史上の重要な例の一つとなりました。

デーンによる否定的な解決の後、ジャン＝ピエール・シドラーは1965年に、二つの多面体が分割合同であるのは、それらの体積とデーン不変量が両方とも等しいとき、そしてその時に限る、という逆の命題を証明しました。これは、デーン不変量が分割合同性を判断するための必要十分条件の一部であることを確立した画期的な成果です。その後の研究により、シドラーの結果は高次元空間にも拡張され、また、周期的な空間充填を行うことができる多面体のデーン不変量がゼロになることなども示されています。

ちなみに、ヒルベルトが元々提出した問題の正確な形は、「底面積と高さが等しい二つの四面体は常に分割合同か？」というものでした。もしこれが真であれば、任意の四面体はより単純な図形（例えば底面が同じ三角柱の一部）と分割合同であることが示せると考えられていたからです。しかし、デーンの示した通り、一般的な同体積の多面体が分割合同ではないため、ヒルベルトのこの具体的な問いに対しても答えは否定的なものとなりました。

デーンとヒルベルトの知らぬことでしたが、実は1882年にポーランドの数学者Władysław Kretkowskiが同様の問題を既に提起しており、Antoni Birkenmajerがデーンとは異なる手法で解を得ていたという興味深い歴史的事実も後に明らかになっています。Birkenmajerの解法は当時公刊されず、後年になって再発見されました。

ヒルベルトの第3問題とその解決は、多面体の体積という概念を、より深い幾何学的・代数的構造と結びつける重要な一歩となり、その後の幾何学の研究に影響を与えました。

もう一度検索